Определение длины световой волны по картине дифракции на круглом отверстии

Лабораторная  работа №11 

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ ПО КАРТИНЕ

      ДИФРАКЦИИ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ 

    Цель  работы – определение длины световой волны по картине дифракции на малом круглом отверстии в  экране.  

Общие положения

          При прохождении  пучка параллельных лучей света через маленькое круглое отверстие в экране свет вследствие явления дифракции заходит в область геометрической тени. За экраном наблюдается дифракционная картина в виде чередующихся светлых и тёмных концентрических колец.

      Распределение интенсивности света в дифракционной картине можно рассчитать на основе принципа Гюйгенса-Френеля посредством метода зон Френеля.

      Пусть на экран с круглым отверстием радиусом OB падает плоская монохромати-ческая волна (рис. 1). В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля действие этой волны можно заменить действием когерентных точечных источников света, расположенных на волновой поверхности, которая в данном случае является плоскостью, параллельной плоскости экрана с отверстием. Определим действие этой волны в точке P, лежащей на прямой SS′, проходящей через центр отверстия. Для этого мысленно разделим открытую часть волновой поверхности на кольцевые зоны (зоны Френеля), чтобы расстояние от краёв соседних зон до точки P отличалось на половину длины волны :

    r₁ = r_{0 +} ;  r₂ = r_{1 +} = r_{0 +} 2 ; … ;  r_K = r_{0 +} к .

          При таком делении  фазы колебаний, приходящих в точку  P от соседних зон, отличаются на , т.е. противоположны. Если амплитуды колебаний, приходящих от 1, 2, … , K-ой зон обозначить a₁, a₂, … , a_K , то амплитуда суммарного колебания в точке P равна A = a₁ – a₂ + a₃ – a₄ + … + (-1)^K+1a_K.

    Амплитуда колебаний, приходящих от отдельной зоны, зависит от площади зоны ΔS, от расстояния r_K от зоны до точки P и от угла наклона α между r_K и нормалью к поверхности зоны. Можно показать, что площади зон примерно одинаковы. Действительно, площадь K-ой зоны , где и – радиусы (K + 1) и K-й зон. Радиусы зон Френеля определяются соотношением (см. рис. 1): и . Учитывая, что r₀ >> λ, получим , а площадь K-й зоны , т.е. площадь зоны Френеля не зависит от номера зоны K. Следовательно, амплитуды колебаний зависят лишь от r и от угла α. С увеличением номера зоны расстояние r_к  возрастает и растёт угол α, поэтому амплитуды a_к колебаний, доходящих до точки P от отдельных зон, должны монотонно убывать с увеличением номера зоны K: /a₁/ > /a₂/ > /a₃/ > … > /a_K /> …. Монотонное убывание амплитуд позволяет приближенно выразить амплитуду средней зоны через амплитуды соседних зон: . Амплитуду A суммарного колебания в точке P можно представить в виде:

     .

Так как  слагаемые, выделенные скобками, равны  нулю, результирующая амплитуда при  нечетном K: , а при четном K: .

    Объединяя последние формулы, получаем , где знак “+” относится к нечетному, а знак “-“ – к четному числу зон Френеля, укладывающихся на часть волнового фронта, не закрытую экраном.

    При свободном распространении света (между источником и точкой P нет никакого препятствия), когда не происходит ограничение фронта волны, к→ ∞ и a_K → 0. Тогда , т.е. при полностью открытом фронте амплитуда суммарного колебания в точке P определяется колебаниями, создаваемыми только частью первой зоны.

     Из сказанного следует, что если отверстие открывает одну зону или  их небольшое нечетное число, то в  результате интерференции в точке  P будет виден свет, причем более интенсивный, чем при отсутствии экрана. При небольшом четном числе открытых зон освещенность в точке P будет минимальной.

     Рассмотрим эффект, производимый световой волной в точке P₁ (рис. 2). Для нее, как более удаленной от экрана, откроется меньшее число зон, так как по мере удаления от экрана уменьшается угол, под которым видно отверстие в экране. Пусть для точки P открыто m зон, тогда для точки P₁ число зон  m-n, где n – число переходов от максимума к минимуму освещенности для центра дифракционной картины. Обозначим на рис. 2: OB = R, OP = d, тогда BP = d +  . Из имеем . Подставляя вместо OB , OP , PB их значения (пренебрегая членом ), получаем:

                             .

    Из  последнего выражения получаем:

                                .  (*)

    Это соотношение служит для вычисления длины волны. Для повышения точности определения длины волны расстояние d измеряется несколько раз при разном числе открытых зон m. Как видно из уравнения (*), зависимость d от является линейной, а коэффициент наклона графика этой зависимости . Построив экспериментальный график d от можно убедиться в том, что зависимость действительно линейна, а по коэффициенту наклона получившейся прямой и известному значению радиуса отверстия R определить длину волны. 

Описание лабораторной установки

     Принципиальная схема установки  приведена на рис. 3. Лазерный источник дает практически параллельный пучок лучей (с очень малым углом расходимости). Лучи дифрагируют на выходном окне резонатора лазера (плоскость B на рис.), представляющем собой круглое отверстие с радиусом  мм. Таким образом, можно считать, что на отверстие падает плоская волна. Картина дифракции наблюдается с помощью короткофокусной линзы (объектива) M на экране Э. Он может перемещаться вдоль скамьи. Расстояние от объектива до его фокальной плоскости , в которой рассматривают дифракционную картину, обозначено b; l – расстояние от объектива до отверстия, на котором происходит дифракция. Тогда расстояние d от плоскости, в которой происходит дифракция, до точки наблюдения есть: l – b. 

Порядок выполнения работы

    1. Установить объектив M так, чтобы на экране была видна дифракционная картина от отверстия, соответствующая открытым двум зонам Френеля. Записать координату X объектива по шкале.

    2. Передвигая объектив по направлению к лазеру, наблюдать за сменой освещенности в центре дифракционной картины. Для каждого последующего числа открытых зон (3, 4, 5 и т.д., пока картина четко различима) записывать координату объектива. Данные представить в виде таблицы.

    3. По мере увеличения числа открытых зон (при приближении объектива к источнику) картина дифракции на экране становится более сложной и слабее различается. Если продолжить приближать объектив к лазеру (соответствует большому числу m), можно получить на экране четкое изображение выходного окна (область действия законов геометрической оптики). Записать соответствующую координату объектива X_¥.

    4. Измерения п.п. 1-3 повторить еще два раза.

    5. Определить для каждого m расстояния d с учетом того, что d = l - b = X - X_¥ (см. рис. 3). Результаты добавить в таблицу.

    6. Построить график зависимости  расстояния d от . По коэффициенту наклона K аппроксимирующей прямой и радиусу отверстия R определить длину волны источника: .

    7. Рассчитать погрешность наклона  и, исходя из нее и погрешности радиуса , найти погрешность . Окончательный результат для длины волны представить в виде доверительного интервала. 
 
 

    Обработка результатов измерений 

    x_∞ = 85,8

    R = 0,5±0,02 мм 

 

Построим график зависимости расстояния d от .

   

Найдем коэффициент  наклона аппроксимирующей прямой К.

  

Определим длину волны источника:

 

Расчет погрешностей

 

     

      Вывод: в данной лабораторной работе было определено значение длины световой волны по картине дифракции на малом круглом отверстии в экране. Оно составило 641±37,82 нм. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

НИУ ИТМО 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Лабораторная  работа № 11 

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ ПО КАРТИНЕ

      ДИФРАКЦИИ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила: ст. Трушкина А.В.

Гр.2311

Проверил: преп. Темнов Д.Э. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург

2011