Момент инерции

4. Прямоугольная пластина, конус, шар.

Опуская выкладки, приведем формулы, определяющие моменты инерции следующих тел (читатель может получить их самостоятельно, а также найти эти и другие формулы в различных справочниках

а)              сплошная прямоугольная пластина массой М со сторонами АВ=а и BD=b (ось х направлена вдоль стороны АВ, ось у — вдоль BD)

Jx=Mb2/3, Jy=Ma2/3;

б)              прямой сплошной круглый конус массой М с радиусом основания R (ось z направлена вдоль оси конуса)

Jz=0,3MR2

в) сплошной шар массой М и радиусом R (ось z направлена вдоль диаметра) Jz=0,4MR2

Моменты инерции неоднородных тел и тел сложной конфигурации можно определять экспериментально с помощью соответствующих приборов.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО

ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ. ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСА.

Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной. Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx'y'z', а через любую точку О на оси Сх' — оси Oxyz, такие, что Oy║Cy', Oz║Cz'. Расстояние между осями Cz' и Oz обозначим через d. Тогда по формулам (2) будет:

Joz=∑mk (xk2 + yk2 ), Jcz’ =∑mk (x’k2 + y’k2 ),

Но для любой точки тела хk=х'k-d и xk2=x'k2+d2-2х’kd , а yk=y’k . Подставляя эти значения хk, уk в выражение для JOz и вынося общие множители d2 и 2d за скобки, получим

JOz=∑mk (x’k2 + y’k2 )+ (∑mk )d2-(∑mk x’k)2d

В правой части равенства первая сумма равна JCz’  , а вторая — массе тела М. Найдем значение третьей суммы. На основании формул (1) для координат центра масс∑mk x’k=Mx’c . Так как в нашем случае точка С является началом координат, то х'с=0 и, следовательно, ∑mk x’k =0. Окончательно получаем

JOz=JCz’+Md2           (8)

Формула (8) выражает следующую теорему Гюйгенса: момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Из формулы (8) видно, что JOz>JCz’. Следовательно, из всех

осей данного направления наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс. Теорема Гюйгенса позволяет найти момент инерции тела относительно данной оси Oz1 и в том случае, когда известен его момент инерции относительно любой оси Az2, параллельной Оz1 . При этом надо знать расстояния d1 и d2 каждой из этих осей от центра масс тела. Тогда, зная JAz и d2, мы по формуле (8) определяем JCz’, а затем по той же формуле находим искомый момент инерции JOz1.

ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ.

ПОНЯТИЯ О ГЛАВНЫХ ОСЯХ ИНЕРЦИИ ТЕЛА

Если через точку О провести координатные оси Oxyz, то по отношению к этим осям центробежными моментами инерции (или произведениями инерции) называют величины Jxy, Jyz, Jzx, определяемые равенствами:

Jxy=∑mkxkyk;     Jyz=∑mkykzk;     Jzx=∑mkzkxk;         (9)

где mk — массы точек; xk, yk, zk — их координаты; при этом очевидно, что Jxy=Jyx и т. д.

Для сплошных тел формулы (9) по аналогии с (4') принимают вид

Jxy = ∫ pxydV и т. д.              (9')

В отличие от осевых центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, в частности, при определенным образом выбранных осях Oxyz могут обращаться в нули.

Главные оси инерции. Рассмотрим однородное тело, имеющее ось симметрии. Проведем координатные оси Oxyz так, чтобы ось Oz была направлена вдоль оси симметрии. Тогда в силу симметрии каждой точке тела с массой mk и координатами xk yk, zk будет соответствовать точка с другим индексом, но с такой же массой и с координатами, равными —xk, —yk, zk. В результате получим, что ∑mkxkzk =0 и ∑mkykzk =0, так как в этих суммах все слагаемые попарно одинаковы по модулю и противоположны по

знаку; отсюда, учитывая равенства (9), находим:

Jxz=0, Jyz=0.                           (10)

Таким образом, симметрия в распределении масс относительно оси z характеризуется обращением в нуль двух центробежных моментов инерции Jxz и Jyz. Ось Oz, для которой центробежные моменты инерции Jxz> Jyz, содержащие в своих индексах наименование этой оси, равны нулю, называется главной осью инерции тела для точки О. Из изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела для любой своей точки. Главная ось инерции не обязательно является осью симметрии. Рассмотрим однородное тело, имеющее плоскость симметрии. Проведем в этой плоскости какие-нибудь оси Ox, Oz и перпендикулярную им ось Оу. Тогда в силу симметрии каждой точке с массой mk и координатами xk, yk, zk будет соответствовать точка с такой же массой и координатами, равными xk, —yk, zk. В результате, как и

в предыдущем случае, найдем, что ∑mkxkyk =0 и ∑mkykzk =0 или Jxy =0, Jyz=0, откуда следует, что ось Оу является главной осью инерции для точки О. Таким образом, если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки О, в которой ось пересекает плоскость.

Равенства (10) выражают условия того, что ось Oz является главной осью инерции тела для точки О (начала координат). Аналогично, если Jxy=0, Jyz=0, то ось Оу будет для точки О главной осью инерции. Следовательно, если все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е.

Jxy=0;   Jxz=0;   Jzy=0;

то каждая из координатных осей Oxyz является главной осью инерции тела для точки О (начала координат).

Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела. Главные оси инерции, построенные для центра масс тела, называют главными центральными осями инерции тела. Из доказанного выше следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось

является одной из главных центральных осей инерции тела, так как центр масс лежит на этой оси. Если же тело имеет плоскость симметрии, то ось, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через центр масс тела, будет также одной из главных центральных осей инерции тела. В приведенных примерах рассматривались симметричные тела, чего для решения задач, с которыми мы будем сталкиваться, достаточно. Однако можно доказать, что через любую точку какого угодно тела можно провести, по крайней мере, три такие взаимно перпендикулярные оси, для которых будут выполняться равенства (10'), т. е. которые будут главными осями инерции тела для этой точки.

Понятие о главных осях инерции играет важную роль в динамике твердого тела. Если по ним направить координатные оси Oxyz, то все центробежные моменты инерции обращаются в нули и соответствующие уравнения или формулы существенно упрощаются. С этим понятием связано также решение задач о динамическом уравнении вращающихся тел, о центре удара  и др.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО

ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ

Проведем ось Ol, образующую с осями Oxyz углы а, р и у соответственно. По определению,Jl=∑mkhk2 , где, как_ видно из треугольника OВkDk, hk2=rk2—(ODk2). Но ODk, как проекция вектора zk=xki+ykl+zkk: на ось Ol, равна сумме проекций составляющих этого вектора на ту же ось, причем (xki)l =

=xk cosα и т. д.; кроме того, rk2=xk2+yk2+zk2. Тогда

Jl=∑mk[xk2+yk2+zk2-(xk cosα+yk cosβ+zk cosγ)2]

Если сначала учесть, что 1—cos2α=cos2β+cos2γ и т. д., а затем вынести квадраты и произведения косинусов, как общие множители, за скобки и                                       принять во внимание формулы (2) и (9), то окончательно получим

Jl=Jxcos2α+Jycos2β+Jzcos2γ-2Jxycosα cosβ-2Jyzcosβ cosγ-2Jzxcosγ cosα.    (11)                                                                                                                                                      

Если же в качестве осей Охуz выбрать главные оси инерции тела для точки О, то формула упрощается.

Jl=Jxcos2α+Jycos2β+Jzcos2γ           (11’)

Формулы (11) или (11’) позволяют, зная входящие в их правые части моменты инерции относительно заданных осей Охуz, определить момент инерции относительно любой оси, проходящей через точку О*. Если же известно и положение центра масс тела, то, используя формулу (8), можно найти момент инерции относительно оси, проходящей через любую другую точку.

Заключение.

В данной работе рассмотрено понятие, расчет, а также множество видов и свойств момента инерции. Подведем некоторые итоги. Из всего вышесказанного мы можем сформулировать наиболее точное и правильное определение момента инерции. Моментом инерции тела относительно оси называется величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси.

Где же мы можем рассмотреть такое явление, как момент инерции? Его рассматривают на примере гироскопа. Гироскопом (симметричным гироскопом) называется твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки О и обладающее осью Oz’ динамической симметрии, которая проходит через центр инерции гироскопа. Гироскоп называется уравновешенным, если точка О совпадает с его центром инерции. В противном случае гироскоп называется тяжелым, так как момент его силы тяжести относительно точки О отличен от нуля и существенно влияет на движение гироскопа.

Список используемой литературы:

1. Б.М. Яворский,  А.А. Пинский   «Основы физики»  том1, Москва, «Наука», 1974г.

2. С.М. Тарг   «Основы теоретической механики», Москва, «Наука», 1989г.

3. И.В. Савельев   «Курс общей физики»  том1, Москва, «Наука», 1977г.

4.  Б.М. Яворский, А.А. Детлаф   «Справочник по физике», Москва, «Наука», 1968г.

5. В.Л. Прокофьев, В.Ф. Дмитриева  «Физика», Москва, «Высшая школа», 1983г.

6. А.С. Шубин   «Курс общей физики», Москва, «Высшая школа», 1969г.

7. Р.Г. Геворкян   «Курс физики», Москва, «Высшая школа», 1979г.   

1