ДИНАМИКА

      Лекция 1

      Краткое содержание:  Введение в динамику. Аксиомы классической механики. Системы единиц. Дифференциальные уравнения движения точки.  Основные задачи динамики. Основные виды прямолинейного движения точки.

Введение

      В динамике изучаются механические движения материальных объектов под действием сил.  Простейшим материальным объектом является материальная точка.

      Материальная  точка это модель материального тела любой формы, размерами которого можно пренебречь и принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

      Более сложные материальные объекты –  механические системы и твердые тела, состоят из набора материальных точек.

      Движение  материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов.

      Время в классической механике не связано  с пространством и движением  материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

      Аксиомы классической механики

      Первая  аксиома или закон  инерции.   Материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета.

      Материальная  точка, на которую действует равновесная  система сил, называется изолированной материальной точкой.

      Равномерное и прямолинейное движение точки  называется движением по инерции.

      Вторая  аксиома или основной закон динамики. Ускорение материальной точки относительно инерционной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по этой силе.

      

      Положительный коэффициент пропорциональности  m, характеризует инертные свойства материальной точки и называется массой точки. 
 

           Рис. 1-1

      Масса не зависит от характеристик движения точки и от природы сил. Масса  считается постоянной величиной  и зависит только от самой материальной точки.

      Сила, приложенная к материальной точке, всегда имеет материальный источник в виде других материальных тел, которые  действуют на точку путем контакта при непосредственном соприкосновении  с ней или на расстоянии через посредство силовых полей.

       Третья  аксиома или закон  о равенстве сил  действия и противодействия.  Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению.    
 

      Рис. 1-2 

      Четвертая аксиома или закон  независимого действия сил. При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия  других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

  

      Аксиомы классической механики хорошо согласуются  с результатами опытов.

      Системы единиц

 

      1 кГ = 9.8 Н,  36 км/час = 10 м/сек,  1 Т.е.м. = 9.8 кг

 

       Дифференциальные  уравнения движения точки.

      Основное  уравнение динамики   

можно записать так      или так  

      Проецируя уравнение    на оси координат получаем

   

так как    ,  ,  ,  то

   

      Частные случаи:

      А) Точка движется в плоскости.  Выбираем в плоскости координаты xOy получаем     

      Б) Точка движется по прямой. Выбираем на прямой координату Ox получаем      

      Основное  уравнение динамики       можно спроецировать на естественные подвижные оси.

            

            

      Эта форма уравнений удобна для исследования некоторых случаев полета снарядов и ракет. 

      Основные  задачи динамики

      Первая или прямая задача:

      Известна масса точки и закон ее движения, необходимо найти действующую на точку силу.

      m        

      Вычисляем вторые производные по времени от координат точки, умножаем их на массу и получаем проекции силы на оси координат

      

      Зная  проекции силы на оси координат, определяем модуль силы и ее направляющие косинусы:

         

 

       Пример 1:  Движение точки в плоскости xOy определяется уравнениями:

;  ;  ;  время.

      Решение:     ;

;

;      .

   -  Уравнение траектории в координатной форме  (эллипс).

;   

      Пример 2:   Точка,  имеющая массу ,  движется из состояния покоя по окружности радиуса   с постоянным касательным ускорением  .  Определить действующую на точку силу в момент, когда она пройдет по траектории расстояние   .

      Решение:   Применяя дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси, имеем:

;   ;     ;

Так как  ,  то    ,   

;     ;

; следовательно   ;

;  следовательно

      

 

       Вторая или обратная задача:

      Известна  масса точки и действующая на точку сила, необходимо определить закон движение этой точки.

      Рассмотрим  решение этой задачи в декартовой системе координат. Сила зависит  от времени, координат точки, ее скорости и других причин.

       ,  ,

         

      Из  теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение  одного дифференциального уравнения  второго порядка содержит две  произвольные постоянные. Для случая системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных постоянных: 

      Каждая  из координат  движущейся точки после интегрирования системы уравнений зависит от времени    и всех шести произвольных постоянных, т.е.

      

      

      

      К этим уравнениям необходимо добавить начальные условия:

       ,   

       ,   

      Используя эти начальные условия можно  получить шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных  . 

      Основные  виды прямолинейного движения точки

      Дифференциальное  уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Оx имеет вид:

       ,     Начальные  условия     ,  .

      Наиболее  важные случаи.

      1. Сила постоянна.       

Имеем равнопеременное движение (движение с постоянным ускорением)

      2. Сила зависит от времени.    

  

      3. Сила зависит от координаты или скорости.

Силу, зависящую  от координаты  х  , создают упругие тела при их деформации (например, сжатая или растянутая пружина).

Сила, зависящая  от скорости движения , это сила сопротивления (воздуха, воды и т.д.)

      В этих случаях решение задачи упрощается.