Идеальный газ

Содержание

Идеальный газ……………………………………………………………………………………………………………3

Применение теории идеального газа……………………………………………………………………….5

Смеси идеальных газов………………………………………………………………………………………………8

Свойства газовых смесей……………………………………………………………………………………………9

 

Идеальный газ

Идеальный газ — математическая модель газа, в которой предполагается, что  потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению  с их кинетической энергией. Между  молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

Модель  широко применяется для решения  задач термодинамики газов и  задач аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с  большой точностью описывается  данной моделью. В случае экстремальных  температур или давлений требуется  применение более точной модели, например модели газа Ван-дер-Ваальса, в котором  учитывается притяжение между молекулами.

Различают классический идеальный газ (его  свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой  Больцмана) и квантовый идеальный  газ (свойства определяются законами квантовой  механики, описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе —  Эйнштейна).

 

Классический идеальный газ

Свойства  идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие  допущения:

Диаметр молекулы пренебрежимо мал по сравнению со средним расстоянием между ними

( ) .

Импульс передается только при соударениях  то есть, силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях.

Суммарная энергия частиц газа постоянна если нет передачи тепла или совершения газом работы.

В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно  сумме импульсов в единицу  времени, переданной при столкновении частиц со стенкой, энергия — сумме  энергий частиц газа. Свойства идеального газа описываются уравнением Менделеева — Клапейрона

где  — давление,  — концентрация частиц,  — постоянная Больцмана,  — абсолютная температура.

Для любого идеального газа справедливо соотношение  Майера:

где  — универсальная газовая постоянная,  — молярная теплоемкость при постоянном давлении,  — молярная теплоемкость при постоянном объёме.

 

Применение  теории идеального газа

Физический смысл температуры  газа

Так как  давление молекул на стенку газа определяется по формуле

где - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. Подставив это в уравнение Менделеева — Клапейрона получаем, что температура пропорциональна .

Распределение Больцмана

Распределение скоростей для 106 молекул кислорода  при -100, 20, 600 градусах Цельсия

Равновесное распределение частиц классического  идеального газа по состояниям следует  из уравнения Менделеева — Клапейрона, из которого можно вывести распределение  газа в поле потенциальной энергии. Это распределение приводит к  распределению Больцмана:

где  — среднее число частиц, находящихся в -ом состоянии с энергией , а константа определяется условием нормировки:

где  — полное число частиц.

Распределение Больцмана является предельным случаем (квантовые эффекты пренебрежимо малы) распределений Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и  Бозе-газа.

Адиабатический процесс

 

График  адиабаты (жирная линия) на  диаграмме  для газа.

— давление газа;

— объём.

C помощью  модели идеального газа можно  предсказать изменение параметров  состояния газа при адиабатическом  процессе. Перепишем уравнение в  виде:

Продифференцировав  обе части, получаем:

Затем, если подставить в это уравнение значение работы и внутренней энергии газа, получим Уравнение Пуассона.

Квантовый идеальный газ

Понижение температуры и увеличение плотности  газа может привести к ситуации, когда среднее расстояние между  частицами становится соизмеримым  с длиной волны де Бройля для этих частиц, что приводит к переходу от классического к квантовому идеальному газу (см. Вырожденный газ). В таком случае поведение газа зависит от спина частиц: в случае полуцелого спина (фермионы) действует статистика Ферми — Дирака (Ферми-газ), в случае целого спина (бозоны) — статистика Бозе — Эйнштейна (Бозе-газ).

Ферми-газ

Для фермионов  действует принцип Паули, запрещающий  двум тождественным фермионам находиться в одном квантовом состоянии. Вследствие этого при абсолютном нуле температуры импульсы частиц и, соответственно, давление и плотность  энергии Ферми-газа отличны от нуля и пропорциональны числу частиц в единице объёма. Существует верхний  предел энергии, который могут иметь  частицы Ферми-газа при абсолютном нуле (Энергия Ферми  ). Если энергия теплового движения частиц Ферми-газа значительно меньше энергии Ферми, то это состояние называют вырожденным газом.

Особенностью  Ферми-газов является крайне слабая зависимость давления от температуры: в нерелятивистском случае давление , в релятивистском — .

Примерами Ферми-газов являются электронный  газ в металлах, сильнолегированных и вырожденных полупроводниках, вырожденный газ электронов в  белых карликах и вырожденный  газ нейтронов в нейтронных звёздах.

Бозе-газ

 Так  как на бозоны принцип Паули  не распространяется, то при снижении  температуры   Бозе-газа ниже некоторой температуры  возможен переход бозонов на наинизший энергетический уровень с нулевым импульсом, то есть образование конденсата Бозе — Эйнштейна. Поскольку давление газа равно сумме импульсов частиц, переданной стенке в единицу времени, при    давление Бозе-газа зависит только от температуры.

Примерами Бозе-газов являются различного рода газы квазичастиц (слабых возбуждений) в твёрдых телах и жидкостях, сверхтекучая компонента гелия II, конденсата Бозе — Эйнштейна куперовских  электронных пар при сверхпроводимости.  

Смеси идеальных газов

В двигателях внутреннего сгорания в процессе химической реакции топлива с  кислородом воздуха образуются продукты сгорания, состоящие из смеси газов (углекислого газа, окиси углерода, водяного пара, водорода, кислорода, азота  и др.). При решении ряда задач, связанных с изучением отдельных  процессов в двигателе и его  показателей, необходимо знать состав газовой смеси и количество каждого  газа, являющегося компонентом этой смеси.

1. Расчеты газовых смесей.

Они базируются на следующем. Каждый газ занимает весь объем, как если бы других газов и не было, и он находится в смеси под своим давлением р, называемым парциальным. Давление смеси равно сумме парциальных давлений (закон Дальтона). Газовая смесь может быть задана в массовых и объемных единицах.

2. Определение  количества компонентов смеси  газов в объемных единицах

Если  газ, находящийся в смеси под  парциальным давлением , подвергнуть давлению смеси рсм при температуре Т_см, то он уже не будет занимать всего объема V_CM, а лишь часть его V_v Этот объем V_i называютпарциальным объемом. Сумма парциальных объемов равна объему смеси. Сжатие каждого компонента газа до объема V_i рассматривалось при постоянной температуре, поэтому для любого i-гo компонента газа действительно уравнение, откуда парциальное давление каждого газа. Если состав газа подсчитан не в объемных единицах, а в M_i Кмоль, то относительная доля каждого газа Т, входящего в состав смеси, будет также численно равна объемной доле г .

3. Определение  средней (кажущейся) молекулярной  массы смеси. При проведении расчетов в случае газовой смеси удобно пользоваться величиной, характеризующей среднюю молекулярную массу смеси M_CM. В действительности, поскольку газовая смесь состоит из различных газов, такое понятие является условным и вводится в предположении, что рассматриваемый газ состоит из однородных молекул, масса которого равна массе смеси, а число Кмолей равно М_см.

 

Свойства  газовых смесей

Под газовой  смесью понимают механическую смесь  отдельных газов, не вступающих между  собой ни в какие химические реакции. Каждый газ в смеси, независимо от других газов, полностью сохраняет  свои свойства и ведет себя так, как  если бы он один занимал весь объем  смеси.

Все реальные газы в диапазоне температур, характерном  для систем кондиционирования воздуха, и атмосферном или близком  к нему давлении полностью подходят под понятие идеального газа, поэтому  каждый отдельный газ, входящий в  смесь, считается идеальным газом.

Так как  смесь состоит из нескольких компонентов, то ее состояние не может быть определено лишь двумя параметрами, и необходимы дополнительные величины, характеризующие  состав смеси.

Обычно  состав смеси идеальных газов  задают массовыми долями g_i, т.е. отношением массы компонента смеси m_i к массе всей смеси m_см

Иногда  состав смеси задают объемными долями r_i, т.е. отношением парциального объема компонента V_i к объему смеси V_см

Под парциальным  объемом газа понимают объем, который  занимал бы этот газ, если бы его  температура и давление соответствовали  температуре и давлению смеси.

Соотношение между массовыми и объемными  концентрациями имеют вид

По закону Дальтона общее давление идеальных  газов P_см равно сумме парциальных давлений отдельных газов P_i, составляющих смесь,

Под парциальным  давлением понимают такое давление, которое имел бы газ, входящий в состав смеси, если бы он находился в этом же количестве, в том же объеме и  при той же температуре, что и  в смеси.

Для отдельных  компонентов и для смеси в  целом справедливо уравнение  Клапейрона

                                                                                                  (1)

Если  просуммировать уравнения по всем компонентам, то получим

Согласно  закону Дальтона левые части уравнений (1) равны, следовательно, равны и правые. Тогда, можно получить следующее выражение для газовой постоянной смеси:

Или, если задан объемный состав смеси, то

Понятие универсальной газовой постоянной распространяется и на смеси

Если  известна величина газовой постоянной смеси, то средняя молекулярная масса, представляющая собой условную величину и относящаяся к такому условно  однородному газу, у которого число  молекул и общая масса равны  числу молекул и массе смеси  газов, определяется из выражения

Парциальное давление газа в смеси можно определить:

- через  массовые доли - из уравнения Клапейрона

Значения  удельных теплоемкостей газовых  смесей определяются по следующим формулам:

- смесь  газов задана массовыми долями

- смесь  газов задана объемными долями

 

Аддитивность  объема и внутренней энергии идеальной  газовой смеси предопределяет это  свойство и для энтальпии смеси