Физические величины и их измерения

Физические величины, единицы которых приняты в  качестве основных, называются основными  ФВ, а единицы которых являются производными, называются производными ФВ.

Совокупность  основных и производных единиц ФВ, охватывающая все или некоторые  области физики, называется системой единиц ФВ.

Рассмотрим примеры  установления производных единиц ФВ при выбранных в качестве основных ФВ длины L, массы М и времени Т, т.е. при выбранных основных единицах ФВ [L], [М] и [Т].

Пример 1. Установление единицы площади. Выберем какую-либо простую геометрическую фигуру, например круг. Размер площади s круга пропорционален второй степени размера его диаметра d: s = kS d2, где kS — коэффициент пропорциональности. Это уравнение и возьмем в качестве определяющего. Положив размер диаметра круга равным единице длины, т. е. d = [L], получим [s] = kS [L]2. Выбор коэффициента пропорциональности kS произволен Пусть kS = l, тогда [s] = [L]2, т. е. за единицу площади выбрана площадь круга, диаметр которого равен единице длины. Если [L] = 1 м, то [s] = 1 м2. Площадь круга в этом случае нужно вычислять по формуле s = d2, а площадь квадрата со стороной b — по формуле s = (4/p)b2.

Обычно вместо такой круглой единицы площади  применяют более удобную квадратную единицу, представляющую собой площадь  квадрата со стороной, равной единице  длины.

Если бы при  установлении круглой единицы площади  было принято kS = p/4, то она совпала бы с обычной квадратной единицей.

Пример 2. Установление единицы скорости. В качестве определяющего  примем уравнение, показывающее, что  размер скорости и равномерного движения тем больше, чем больше размер l пройденного пути и чем меньше размер затраченного на этот путь времени Т:  

u = ku (l/T),  

где ku — коэффициент пропорциональности.

Полагая l = [L], Т = [Т], получаем единицу скорости [u]=ku ku [L] [T]-1. Если из соображений удобства положим ku = l, то единица скорости будет [u] = [L] [T]-1. При [L] = 1 ми [Т] = 1с согласно последней формуле [u] = 1 м/с.

Пример 3. Установление единицы ускорения. В качестве определяющего  уравнения возьмем определение  ускорения как производную скорости по времени: a = du/dT. Полагая du = [u], dT = [Т], получаем единицу ускорения: [а] = При [L] = 1 м и [Т] = 1с [а] = 1 м/с2.

Пример 4. Установление единицы силы. Выберем в качестве определяющего уравнение закона всемирного тяготения 

f = где m1 и m2 — размеры масс тел; 

r – размер расстояния между центрами этих масс;

kf - коэффициент пропорциональности.

Полагая m1 = m2 [М], r = [L], получаем единицу силы 

 

или при kf =1 [f] = [M]2 [L]-2. При [L] = 1 м и [М] = 1 кг согласно последней формуле [f] = 1 кг2/м2.

Выбирая в качестве определяющего уравнение второго  закона Ньютона f = = kf ma, получаем аналогично предыдущему единицу силы в виде [f] = kf [M] * [а] = kf [М] [L] [Т]-2, или в виде [f] = [М] [L] [Т]-2. При [М] = 1 кг, [L] = 1 м и [Т] = 1с согласно последней формуле [f] = 1 кг м/с2.

Обе полученные единицы силы равноправны, однако вторая широко распространена, а первая употребляется  редко (преимущественно в астрономии).

Из рассмотренных  примеров видно, что при выбранных  основных ФВ — длине L, массе М  и времени Т, производная единица [х] некоторой ФВ х находится через единицы [L], [М] и [Т] по формуле: 

[x] = kx [L]pL [M]pM [T]pT,

где kx – произвольно выбираемый коэффициент пропорциональности;

pL, рМ и рТ – положительные или отрицательные числа.

Эти числа показывают, как изменяется производная единица  ФВ с изменением основной. Например, с изменением основной единицы [L] в q раз производная единица [х] изменится в qpL раз. Так как kx при этом на изменение [х] не влияет, то характер изменения единицы [х] с изменением единиц [L], [М] и [Т] выражают обычно при помощи формул размерности, в которых kx = 1. В рассматриваемом случае формула размерности имеет вид 

dim x = LpL MpL TpT, 

где правая часть  называется размерностью единицы ФВ; левая часть – обозначение  этой размерности (dimension);

pL, рМ и рТ – показатели размерности.  

Из формулы  размерности видно так же, как  изменяется размер производной ФВ с  изменением размера основной ФВ при  выбранном определяющем уравнении. Правую часть этой формулы называют и размерностью ФВ.

Рассмотрим общий  случай, когда имеется несколько  основных ФВ А, В, С, D, ..., единицы которых [А], [В], [С], [D], ..... Тогда, очевидно, установление производной единицы ФВ х сведется к выбору какого-либо определяющего уравнения, связывающего х с другими (основными и производными) ФВ, к приведению этого уравнения к виду: 

х = kx ApA BpB CpC DpD…, 

где рA, рB, рC, pD, ... — показатели размерности, и к замене основных ФВ их единицами:

[x] = kx [A]pA [B]pB [C]pC [D]pD… 

Формула размерности  в этом случае будет иметь вид: 

dim x = ApA BpB CpC DpD… 

Известно, что  производная единица ФВ х обладает размерностью рА относительно основной единицы ФВ А, размерностью рB относительно основной единицы ФВ В и т.д. (или что производная ФВ обладает размерностью рА относительно основной ФВ А, размерностью рB относительно основной ФВ В и т. д.). Так, рассмотрев размерность скорости (пример 2) LT-1, или L1M0T-1, можно сказать, что скорость обладает размерностью 1 относительно длины, нулевой размерностью относительно массы и размерностью -1 относительно времени (единица скорости обладает размерностью 1 относительно единицы длины и т.д.).

Если рА = рB = рC = рD = … = 0, то производная ФВ х называется безразмерной ФВ, а ее единица [х] – безразмерной единицей ФВ*.

Примером безразмерной производной единицы ФВ может  служить единица [φ] плоского угла φ – радиан. При установлении этой единицы в качестве определяющего принято уравнение φ = = kφ (l/r), показывающее, что размер угла φ тем больше, чем больше размер длины l, стягивающей его дуги и чем меньше размер длины r радиуса этой дуги. В уравнении принято kφ = 1, l = [L], r = [L]. Следовательно [φ] = = [L]0 и dim φ = L0.

Если при установлении производной единицы ФВ в ее выражении  через основные единицы ФВ полагают kx = 1, то она называется когерентной производной единицей ФВ. Система единиц ФВ, все производные единицы которой когерентны, называется когерентной системой единиц ФВ.

Размерности производных  единиц ФВ х, у и z связаны между собой следующим образом. Если z = k1xy, то 

dim z — dim х * dim у. (1.2)

Если z = k2 , то

dim z — dim х/dim у. (1.3)

Если z = k3xn, то

dim z — (dim х)n. (1.4) 

Равенствами (1.2) и (1.3) мы пользовались при установлении единиц ускорения и силы, а равенство (1.4) – следствие равенства (1.2).

Формулы размерности  удается написать лишь для таких  ФВ, при измерении которых удовлетворяется  условие однозначности измерений. Размерности различных ФВ могут  совпадать (например, момента силы и  работы), а размерности одной и  той же ФВ в разных системах единиц ФВ могут различаться (см. пример 4, где разные определяющие уравнения привели нас к разным размерностям единиц силы и, следовательно, к разным размерностям силы). Следовательно размерности не дают полного представления о ФВ. Однако несовпадение размерностей левой и правой частей любой формулы или любого уравнения свидетельствует об ошибочности этой формулы или этого уравнения. Кроме того, понятие размерности облегчает решение многих задач. Если предварительно известно, какие ФВ участвуют в исследуемом процессе, то можно с помощью анализа размерностей установить характер зависимости между размерами этих ФВ. При этом решение задачи часто оказывается гораздо более простым, чем если бы оно велось другими способами.

Существенно, что  при математической формулировке физических явлений под символами ФВ подразумевают  не сами ФВ и не их размеры, а значения ФВ, т. е. именованные числа. Например, в уравнении f = kf ma, выражающем второй закон Ньютона, под символами т и а подразумеваются не сами ФВ (масса и ускорение) и не размеры массы и ускорения, которые невозможно умножить друг на друга, а значения массы и ускорения, т. е. именованные числа, отражающие размеры массы и ускорения, и для которых операция умножения имеет смысл.  

1.4 Системы единиц 

Первой системой единиц ФВ по существу были упоминавшиеся  выше метрические единицы ФВ. Однако только, в 1832 г. К. Гаусс предложил  впредь строить системы единиц ФВ как совокупности основных и производных  единиц. В построенной им системе  основными единицами ФВ были миллиметр, миллиграмм и секунда.

В дальнейшем появились  другие системы единиц ФВ, также-базирующиеся на метрических единицах ФВ, но с различными основными единицами. Наиболее известные из этих систем следующие.

Система СГС (1881 г.). Основные единицы ФВ – сантиметр, грамм, секунда. Система получила большое  распространение в физике. В дальнейшем были созданы некоторые разновидности  этой системы для электрических и магнитных ФВ.

Система МТС (1919 г.). Основные единицы ФВ – метр, тонна (1000 кг), секунда. Большого распространения  эта система не получила.

Система МКГСС (конец XIX в). Основные единицы ФВ – метр, килограмм-сила, секунда. Эта система  получила большое распространение  в технике.

Система МКСA (1901 г.). Иногда ее называют системой Джорджи (по имени ее создателя). Основные единицы ФВ – метр, килограмм, секунда и ампер. Эта система в настоящее время вошла составной частью в новую международную систему единиц ФВ.

Все основные и  производные единицы любой системы  единиц ФВ называются системными единицами  ФВ (по отношению к данной системе). Наряду с системными существуют и  так называемые внесистемные единицы, т. е. такие, которые не входят в систему  единиц ФВ. Все внесистемные единицы ФВ можно разделить на две группы: 1) не входящие ни в одну из известных систем, например: единица длины – икс-единица, единица давления – миллиметр ртутного столба, единица энергии – электрон-вольт; 2) являющиеся внесистемными лишь по отношению к некоторым системам, например: единица длины – сантиметр – внесистемная для всех систем, кроме СГС; единица массы – тонна – внесистемная для всех систем, кроме МТС; единица электрической емкости – сантиметр – внесистемная для всех систем, кроме СГСЭ·.

Наличие разных систем единиц ФВ, а также большого числа внесистемных единиц ФВ создает  неудобства, связанные с расчетами, необходимыми при переходе от одних  единиц ФВ к другим. В связи с  ростом научно-технических связей между  странами стала необходимой унификация единиц ФВ. В результате была создана  новая Международная система  единиц ФВ.

Международная система единиц. В 1960 г. XI Генеральная  конференция по мерам и весам  утвердила Международную систему  единиц ФВ SI··.

В СССР и в  странах — членах СЭВ — SI введена  в стандарт СЭВ СТСЭВ 1052 – 78 «Метрология. Единицы физических величин» Сведения об основных единицах ФВ SI приведены  в табл. 1.

Две, по существу производные, единицы ФВ SI: единица  плоского угла – радиан (русское  обозначение рад, международное  – rad) и единица телесного угла — стерадиан (русское обозначение ср, международное – sr) – официально производными не считаются и называются дополнительными единицами ФВ SI. Причина их обособления в том, что они установлены по определяющим уравнениям j = l/r и y = S/R2, где j - плоский угол, вершина которого совпадает с центром дуги длины l и радиуса r; y - телесный угол, вершина которого совпадает с центром сферы радиуса R, и который вырезает на поверхности сферы площадь S. Единицы 

[j] = 0 и [y] =  

безразмерны, а следовательно, не зависят от выбора основных единиц ФВ системы.

Производные единицы  ФВ SI образуются из основных и дополнительных по правилам образования когерентных  единиц ФВ.

Основные единицы  физических величин SI Таблица 1.

Например: угловое  ускорение – радиан на секунду  в квадрате (рад/с2), напряженность магнитного поля – ампер на метр (А/м), яркость — кандела на квадратный метр (кд/м2).

Единицы ФВ SI, имеющие  специальные наименования, приведены  в табл. 2.

Международная система имеет следующие преимущества перед другими системами единиц ФВ: универсальна, т. е. охватывает все  области физики; когерентна; ее единицы  ФВ в большинстве случаев практически  удобны и были широко распространены ранее.

Единицы, разрешенные  к применению в странах СЭВ. Указанные  выше преимущества SI в целом еще  не позволяют утверждать, что ее единицы ФВ во всех случаях более  приемлемы, чем какие-либо другие. Например, для измерения больших промежутков  времени месяц и век могут  оказаться более удобными единицами, чем секунда; для измерения больших  расстояний световой год и парсек могут, оказаться более удобными единицами чем метр и т. п.