Финансовые ренты

     Содержание 

 

      3. Финансовые ренты 

     Часто в контрактах финансового характера предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и др.

     Определение 1. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.

     Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная  величина. Каждая из этих характеристик  является числом.

     Определение 2. Наращенной суммой потока платежей называется сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

     Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

     Конкретный  смысл этих обобщающих характеристик  определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

     Определение 3. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом [3, c.112].

     Финансовая  рента имеет следующие параметры: член ренты - величина каждого отдельного платежа; период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами; срок ренты – время, от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода; процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту; число платежей в году; число начислений процентов в году; моменты платежа внутри периода ренты.

     Классификация рент может быть произведена по различным признакам.

     1. В зависимости от продолжительности периода ренты делят на годовые и р - срочные, где р - число выплат в году.

     2. По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

     3. По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

     4. По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

     5. По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

     6. В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

     7. Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода [3, c.113].

     Анализ  потоков платежей в большинстве  случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.

     Пусть t  – срок ренты (в годах),  - количество рентных платежей в году. Тогда количество всех рентных платежей (которое мы обозначим буквой n) можно найти по формуле: 

      .                                                      (1.1) 

     Если  число рентных платежей не ограничено (т.е. ), рента называется вечной.

     Рента, в которой рентные платежи  осуществляются в конце рентных  периодов, называется обыкновенной. Если все рентные платежи одинаковы, рента называется постоянной. Мы ограничимся  рассмотрением обыкновенных постоянных рент.

     Обозначим через R    размер рентного платежа. Временная диаграмма платежей обыкновенной постоянной ренты (с конечным числом платежей) имеет вид:    

     

     Поскольку финансовая рента – частный случай последовательности платежей, текущая  стоимость ренты может быть найдена  с помощью формулы (1.2). Таким образом,  

      ,                                                     (1.2) 

     где r – эффективная процентная ставка для рентного периода.

     С помощью формулы для суммы  геометрической прогрессии, выражение (1.2) несложно привести к следующему виду: 

      .                                                 (1.3) 

     В случае вечной ренты с помощью  формулы для суммы бесконечной  геометрической прогрессии имеем: .  Таким образом, в случае вечной ренты: 

      ,                                                       (1.4) 

     где r – эффективная процентная ставка для рентного периода [3, c.114].

     Найдем будущую стоимость ренты (с конечны числом платежей) по формуле (1.5). Таким образом,  

      .                                                 (1.5) 

     Воспользовавшись  формулой для суммы геометрической прогрессии, получим: .  Итак, 

      ,                                                   (1.6) 

     где r – эффективная процентная ставка для рентного периода.

     Отметим, что текущая и будущая стоимости ренты связаны равенством (1.7): 

       .                                                       (1.7)  

     Для нахождения продолжительности ренты вначале найдем продолжительность вечной ренты. Текущая стоимость вечной ренты определяется по формуле (1.4). Возьмем производную от P V по r: . Тогда получим: 

       .                                                         (1.8)  

     Отметим, что процентная ставка r, фигурирующая в формуле (1.8) – это эффективная процентная ставка для рентного периода.

     Текущая стоимость конечной ренты определяется по формуле (1.3). Возьмем производную от текущей стоимости конечной ренты по r: .              Подставив это выражение и формулу (1.3) получим: 

      .                                                        (1.9) 

     Отметим, что процентная ставка r, фигурирующая в формуле (1.9) – это эффективная процентная ставка для рентного периода [3, c.115].

     Таким образом, ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени. Финансовая рента может быть охарактеризована рядом параметров: член ренты — величина каждого отдельного платежа; период ренты — временной интервал между двумя платежами; срок ренты — время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа; процентная ставка — ставка, используемая для расчёта наращения или дисконтирования платежей (в начале, в середине, или в конце года) и др.

 

      Задача 3 

     Найдите эффективную процентную ставку при  начислении сложных процентов: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно, если номинальная процентная ставка равна 24 % годовых. Сравнить полученные результаты. 

     Решение. 

     Найдем  эффективную процентную ставку при  начислении сложных процентов:

     а) каждые полгода:

     Предположим, сумма кредита составляет 120 руб.

     f(х) = 74,4*х + 74,4*х² - 120

     f’(x) = 74,4 + 148,8*x

     Таблица для нахождения процентной ставки будет  выглядеть так:

     Таким образом, на 7-м шаге мы получили результат, что и на предыдущем. Эффективная  процентная ставка составляет ≈33,69%.

     б) ежеквартально

     Предположим, сумма кредита составляет 120 руб.

     f(х) = 37,2*х + 37,2*х² + 37,2*х³ + 37,2*х⁴ - 120

     f’(x) = 37,2 + 74,4*x + 111,6*х² + 148,8*х³

     Таблица для нахождения процентной ставки будет  выглядеть так:

     Эффективная процентная ставка в данном случае составляет ≈42,18%.

     в) ежемесячно:

     Предположим, сумма кредита составляет 120 руб.

     f(х) = 10,4*х + 10,4*х² + 10,4*х³ + … + 10,4*х¹² - 120

     f’(x) = 10,4 + 20,8*x + 31,2*х² + 41,6*х³ + 52*х⁴ + 62,4*х⁵ + 72,8*х⁶ + 83,2*х⁷ + 93,6*х⁸ + 104*х⁹ + 114,4*х¹⁰ + 124,8*х¹¹

     Таблица для нахождения процентной ставки будет выглядеть так: