Теория катастроф

     Речь  идет о так называемых "флагах катастроф" - особенностях поведения  системы, по которым можно судить о приближении критической точки. Перечислим некоторые из них, чаще всего встречающиеся вместе:  

- наличие нескольких  различных (устойчивых) состояний;  

- существование  неустойчивых состояний, из которых  система выводится слабыми "толчками";  

- возможность быстрого изменения системы при малых изменениях внешних условий;  

- необратимость  системы (невозможность вернуться  к прежним условиям);  

- гистерезис, который  мы уже рассматривали в примере  с "гениями" и "маньяками".  

     Чтобы проиллюстрировать эти ситуации, можно привести множество примеров из физики, но обратимся лучше к примерам более "жизненным". Всем нам после окончания средней школы приходилось выбирать дальнейший жизненный путь. Первый "флаг катастрофы" - существование различных устойчивых состояний - проявляется в том, что мы можем видеть несколько различных привлекательных для нас вариантов деятельности. Это могут быть несколько институтов, в которые мы можем поступить (в последние годы благодаря вступительным олимпиадам школьник к моменту окончания школы может быть уже зачислен в несколько вузов), несколько фирм, где нас согласны принять на работу, и т. п. Наряду с этим присутствует и второй "флаг" - неустойчивые состояния - места, где мы уж точно надолго не задержимся. Третий "флаг": приняв решение и став, например, студентом, мы испытываем стремительное изменение - и внешнее (меняется наш социальный статус, у нас появляются собственные деньги, пусть небольшие), и внутреннее (мы стремительно взрослеем). Четвертый "флаг": после выбора обратный путь практически невозможен - чтобы нас отчислили с первого курса, еще до сессии, нужно натворить что-то очень грандиозное. Но уж если отчислили, то просто так обратно не примут, и надо ждать подходящих условий - новых приемных экзаменов. Это пятый "флаг катастрофы".  

     Еще одним "флагом катастрофы" служит так называемое "критическое замедление", когда множество усилий не приводит к сколько-нибудь заметному изменению ситуации. Такой флаг был вывешен на историческом пути нашей страны в 80-е годы, когда колоссальные средства, вкладываемые в экономику, например в сельское хозяйство, уходили словно в песок, ничего существенно не изменяя.

     Нетрудно  заметить, что если исследователь  наткнулся на один из этих "флагов", то управляющие параметры можно  поменять так, чтобы стало возможным  обнаружить и другие "флаги", которые обязательно должны проявить себя в подходящих условиях. Правда, в рассмотренном нами примере с выбором института экспериментировать вовсе не обязательно и даже нежелательно, если только вы не хотите пожертвовать собой ради подтверждения теории. Но в иных условиях, чтобы убедиться, что система действительно может претерпеть резкий скачок состояния, имеет смысл поискать и более представительный набор "флагов катастроф".  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ПРЕДОПРЕДЕЛЕННОСТЬ  ИЛИ СВОБОДА ВЫБОРА? 

     Теория  катастроф является одной из частей более общей математической теории - качественной теории сложных нелинейных систем. Эта теория изучает общие  принципы, проявляющиеся в различных  ситуациях, и помогает лучше понять механизм действия природных сил. Один из таких механизмов описывает взаимодействие судьбы и свободы выбора, и математическая модель этого взаимодействия оказывается очень близка к мифологической.

     В религиозных и философских системах судьба человека связывается с его предназначением, с его жизненным путем, определенным свыше. В мифах античности судьбой человека распоряжаются дочери Зевса Мойры, непреодолимость рока символизируется водами подземной реки Стикс. Если механизм рока запущен, то любое поведение героя неотвратимо влечет его к развязке (как, например, в ситуации с Эдипом, которому было предсказано убить своего отца), однако всегда существует один-единственный поступок, казалось бы, незначительный в сравнении с масштабом последующих событий, который запускает их череду; герой мог бы поступить иначе, и тогда мифическая история пошла бы совсем по другому пути. Примером этому может служить решение Париса отдать яблоко Афродите, что вызывает целый ряд неотвратимых последствий, вплоть до Троянской войны и путешествия Одиссея.

     Вопросы о том, что определяет развитие мира, волновали умы мудрецов еще с  древних времен. Анаксимандр из Милета (610- 540 до н. э.) учил: "Природа вечна, но в своем развитии она проходит через определенные фазы". Гераклит из Эфеса (520- 460 до н. э.) утверждал, что мир есть вечно существующий живой огонь, мерно разгорающийся и мерно потухающий. Следуя им, Эмпедокл из Акраганта (490- 430 до н.э.) считал, что мир проходит через бесконечную череду этапов - время господства "любви" сменяется периодом господства "вражды" и т. д. Основная идея античной философии: мир существует вечно, и сегодняшнее его состояние - лишь одна из многих ступеней его пути. Однако единая основа мира неподвижна - об этом говорили и Платон, и философы-элеаты. Идея о том, что вселенной управляют математические законы, традиционно приписывается Пифагору. Он учил: "все есть число" и "числа правят миром". Все явления мира гармоничны, а законы гармонии задаются отношениями целых чисел, как частоты нот в консонансном аккорде.  

     Итак, гармония вечна и неизменна. Судьба же - это движение, она определяет наше будущее, неизвестное сейчас. Математические принципы развития появились значительно позже, в конце XVII века, с развитием исчислений бесконечно малых: описав взаимодействие частей системы и ее начальное состояние, можно было однозначно определить ее эволюцию. Казалось, тайна вселенной раскрыта - ее будущее уже определено настоящим, все предрешено, и все можно предсказать, решив дифференциальное уравнение, хотя и очень сложное.

     Выразителем этой крайней точки зрения считают Бенедикта Спинозу (1632- 1677): он утверждал, что в природе вещей нет ничего случайного, существует только необходимость, обусловленная законами природы. Случайность же приходится привлекать там, где мы чего-то не знаем.

     В XVII- XIX веках этой детерминистской точки зрения придерживались большинство ученых. Предопределенность была синонимом объективности научных знаний, возможность точных предсказаний рассматривалась как величайший триумф науки.

     Но  трудно поверить в то, что миллионы лет назад уже были точно запрограммированы и появление жизни, и все катаклизмы и войны, и все радости и напасти рода человеческого, и все наши поступки, порой такие непредсказуемые и неожиданные. Возможно ли такое?

     Наука ХХ века дала множество математических моделей, которые свидетельствуют, что в специально организованной среде действительно могут возникать новые формы, не существовавшие ранее. Одна из них была предложена Дж. Конвеем как забавное развлечение, но из-за множества аналогий вдруг приобрела глубокий смысл. Речь идет об игре "Жизнь". (Подробное описание этой игры под названием "Эволюция" см. в журнале "Наука и жизнь" № 8, 1971 г.; № 8, 1972 г. - Прим. ред.) Правила ее очень просты: на тетрадном листе бумаги в ячейках прямоугольной сетки "живут" клеточки, подчиняясь простым правилам: если число соседей клетки больше трех или меньше двух, то она умирает. В пустой же ячейке с тремя "живыми" соседями может родиться новая клетка. Колония клеток демонстрирует разнообразное поведение в зависимости от начального состояния. Некоторые структуры исчезают, другие достигают стационарного поведения. Есть сообщества клеток, которые движутся, словно живые, - к ним относится так называемый "планер", или "парусник". Есть и более сложные конфигурации, например "планерное ружье", - эта колония клеток через 30 поколений возвращается в исходное состояние, рождая при этом один планер. Есть и "пожиратель планеров" - конструкция, которая поглощает налетающий на нее парусник и вновь поджидает очередную жертву.  

     Еще один пример. Простейшие математические формулы, определяющие расположение точек на плоскости, порождают необычайно сложные по своей структуре геометрические объекты - фракталы (см. "Наука и жизнь" № 4, 1994 г.). Их узоры складываются из бесконечных повторений и вариаций фрагментов. Колоссальное разнообразие этих форм достигается изменением параметров в математическом законе их построения.

     Эти примеры свидетельствуют о том, что в самой природе среды, в ее структуре может быть заложена возможность творить невероятное количество форм. Среда, словно первобытный хаос, наделена множеством структур. Проявить то или иное потенциальное состояние среды можно, определенным образом организовав ее начальную структуру: расставив живые клеточки, "зерна" жизни в первом примере или задав параметры закона повторения фрагментов в примере с фракталами.  

     Казалось  бы, тезис Спинозы подтверждается, и мы - люди, привыкшие считать  себя свободными в выборе своего жизненного пути, - тем не менее действуем  в соответствии с неумолимыми законами судьбы, предписанными нашим окружением. И все наши мысли, стремления, эмоции, вдохновения и открытия оказываются следствием изначального распределения частичек вселенной...  

     Но  рассмотрим еще один пример - игру в  бильярд. Начальная пирамида разбивается первым шаром - порядок сменяется хаосом. Если толкнуть все шарики так, чтобы они покатились в обратном направлении, приобретя те же скорости, то, как предписывают математические законы движения, все они из хаоса соберутся в первоначальную пирамидку. Однако попытки осуществить такое движение на практике не приводят к успеху - дело в том, что сколь угодно малая ошибка в задании скоростей ведет к значительным расхождениям траекторий в будущем. Эта неустойчивость, свойственная развитию любой достаточно сложной системы, не позволяет полностью предсказать ее поведение на длительный период времени (см. "Наука и жизнь" № 5, 2001 г.).

     Математический  анализ моделей сложных нелинейных открытых систем во второй половине ХХ века привел к возникновению новой  науки - синергетики, открывшей общие принципы эволюции и механизмы их осуществления. В конце второго тысячелетия от Рождества Христова наука вновь вернула нас к древнему пониманию сущности мироздания - к представлению о двух силах, двух противоположных тенденциях, благодаря которым мир развивается и преображает ся, удерживаясь все же в относительном равновесии.

     Сегодня на уровне математической теории можно  утверждать, что любая достаточно сложная система, взаимодействующая  со своим окружением, проходит в  своем развитии определенные этапы. Вначале из неупорядоченных частей системы вдруг складываются и с колоссальной скоростью начинают расти множество структур - "новых форм". За счет противоположной, "разрушительной" тенденции скорость роста постепенно замедляется, некоторые формы исчезают, другие приобретают устойчивость. Эта тенденция рано или поздно одерживает верх, погружая все в изначальный хаос, и наступает кризис, порождающий структуры следующего этапа.

     Таким образом, математическая модель развития совпадает с мифологической: согласно воззрениям Древней Индии, бог Брахма творит мир, упорядочивая хаос, а Шива разрушает его. В промежутках между двумя рождениями мир устойчив благодаря уравновешивающему началу - богу Вишну. В античных мифах порождающее божество Дионис выхватывает из хаоса бессчетное множество форм, а гармонизирующее начало - Аполлон - уравновешивает его взрывную творческую энергию, успокаивает бешеный рост форм, придает миру соразмерность. Нарушение гармонии - конфликт, необходимый для развития, - погружает систему в животворящий хаос, дающий ростки новой жизни.  

     Хаос - неизбежный, обязательный атрибут  жизни любой достаточно сложной  системы. Геометрическим образом хаоса  может служить запутанный клубок ниток: по такой же замысловатой, никогда  не повторяющейся траектории движется система в период кризиса. Так ведет себя атмосфера Земли - хотя погода сегодня похожа на вчерашнюю, она всегда чем-то от нее отличается, и нет двух одинаковых дней. Так работают сердце и мозг - на их регулярные ритмы наложен хаотический фон, и его исчезновение ведет к скорой смерти пациента.

     Этап  кризиса характеризуется крайней  неустойчивостью: малейшее движение в  сторону от траектории может заставить  систему сменить сценарий своего развития. Она может отправиться "на второй круг" своей эволюции, лишь немного отличающийся от предыдущего, а может ценой незначительного усилия перейти на принципиально иную, новую орбиту движения. Ведь, действительно, в клубке ниток рядом всегда есть нити, которые ведут в другом направлении, надо лишь "перескочить" на них - и наша судьба резко изменится.  

     В математических моделях выйти из кризиса можно за счет изменения  так называемых внешних параметров - рано или поздно они изменят  среду так, что в ней исчезнет неустойчивость, порождающая хаос, и клубок траекторий вытянется во множество почти параллельных нитей. Резкие изменения сценария развития на таких этапах спокойного развития практически невозможны - ведь все нити идут в одном направлении, и требуется долгое путешествие с нитки на нитку, чтобы существенно поменять направление движения.

     Образом преодоления кризиса в мифологических концепциях служит ковчег - корабль, несущий  семена новой жизни по бушующему  морю во время потопа. Ковчег преодолевает хаос благодаря вере капитана, знающего, что потоп не вечен, имеющего ясную цель и осознающего свою ответственность за будущее. Универсальные математические сценарии развития тоже говорят о преходящем характере хаоса. И чтобы не застрять в бессмысленных метаниях, надо успокоиться, не упустить момент окончания кризиса, уловить нужную тенденцию и без лишних затрат выйти на устойчивую траекторию.