Симметрия и асимметрия

Введение

1. Проблема симметрии и асимметрии в природе.

2. Элементы  симметрии

3. Типы  симметрии

4. Законы сохранения симметрии и асимметрии

Заключение

 Список литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

Существует множество  определений симметрии. В наиболее простой трактовке немецкого математика Германа Вейля современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к каким-то преобразованиям, выполняемым над ним. Таким образом, геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными. Существует понятие не только геометрической симметрии, но и физической - однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства.

Среди главных  элементов симметрии выделяют центр (точка, вокруг которой вращается  какое-либо тело), ось (ось вращения) и плоскость симметрии (плоскость, проходящая через ось симметрии и рассекающая тело на две зеркальные половины). Известны два основных типа симметрии - вращательная и поступательная. Кроме того, встречается модификация из совмещения этих двух основных типов симметрии - вращательно-поступательная симметрия.

Интересным представляется связь различных форм симметрии  живых организмов с образом жизни, который они ведут. Более развитые и сложные организмы имеют  билатеральную форму симметрии, которая соответствует их активному и подвижному образу жизни.

В природе встречаются  и дисимметрические объекты, которые  отличаются от других объектов своеобразным отношениям к своему зеркальному  отражению. Дисимметрических объекты  могут существовать в двух разновидностях: в виде оригинала и зеркального отражения. При этом одна из форм называется правой -- П, а другая левой -- Л. Обнаружение в живой природе П- и Л-форм поставило перед биологией ряд новых и очень важных вопросов, многие из которых сейчас решаются сложными математическими и физико-химическими методами.  
 
 
 
 

1. Проблема  симметрии и асимметрии в природе.

    Симметрия и асимметрия- это единство двух асимметричных Начал, связывающих между собой Прошлое и Будущее, через Настоящее.        Симметрия встречается буквально на каждом шагу. Самый простейший пример – это предмет и его отражение в зеркале, которое является плоскостью симметрии. Проекция же плоскости зеркала, вертикально поставленного на стол, будет следом плоскости симметрии. Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором, как отмечал академик В. И. Вернадский, слагалось в течение тысяч поколений. Другой наш соотечественник, посвятивший изучению симметрии всю свою жизнь, академик А. В. Шубников на основе изучения археологических памятников сделал вывод, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. При чем применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм. Представим себе, что плоская фигура перед зеркалом и ее отражение объединены в одну фигуру. Новая фигура оказывается разделенной следом плоскости симметрии на две равные части. Поэтому и говорят, что геометрическая фигура обладает зеркальной симметрией, если она может быть разделена прямой линией на две равные части и расположение этих частей подобно отражению в зеркале. Примером зеркальной симметрии может служить деление диагональю квадрата на две равные части. Диагональ прямоугольника делит его также на две равные части, но в этом случае она не является следом плоскости зеркальной симметрии, так как не выполняется второе условие - проекции вершин прямоугольника не находится на одной линии. Следовательно, в прямоугольнике можно провести два следа плоскости симметрии – это линии, параллельные сторонам и проходящие через их середине. В квадрате таких следов четыре. Если же прямоугольную фигуру разрезать той же диагональю на две равные части, то и из этих половинок можно составить симметричную фигуру, но уже не прямоугольную. Приведенные примеры показывают правило построения так называемой геометрической фигуры. Говорят, что фигура построена геометрически правильно, если ее можно разделить без остатка на равные части по некоторому геометрическому признаку. Например, квадрат можно разделить на восемь равных прямоугольных треугольников, а прямоугольник – на два треугольника. Поэтому в общем случае говорят, что фигура является симметричной, если она состоит из геометрически равных частей, должным образом расположенных относительно друг друга. В дальнейшем неделимую часть симметричной фигуры будем называть элементарной фигурой. Если элементарную фигуру перемещать вдоль некоторой прямой линии и через равные расстояния фиксировать ее положения на плоскости, то получим новую фигуру, симметричную данной. Линию, по которой перемещают фигуру, называют осью переноса, а расстояние между соседними положениями элементарной фигуры - элементарным переносом. Элементарный перенос может быть больше длины элементарной фигуры, равным ей или меньше ее .Если же элементарную фигуру перемещать вдоль оси переноса и через равные расстояния отражать ее в плоскости, перпендикулярной плоскости листа, то также получим симметричную фигуру. Такую плоскость называют плоскостью скользящего отражения. Существуют фигуры, у которых нет плоскостей симметрии, зато есть ось симметрии. Само слово «ось» уже предполагает вращение. Так вот, осью симметрии  называют линию, проходящую через центр фигуры, перпендикулярную к ней, и при полном обороте вокруг которой элементарная фигура приходит в совмещение сама с собой целое число раз. Если же полученную фигуру поместить перед зеркалом, то ее отражение также будет симметричным, имеющим только ось симметрии. А обе фигуры вместе соотносятся друг с другом, как левая и правая рука. Поэтому одну из них называют левой, другую – правой.

    Симметрия является одним из важнейших признаков  красоты форм. Две совершенно одинаковые, но симметричные фигуры могут выглядеть вовсе не привлекательными. Но стоит только расположить их рядом по принципу хотя бы только зеркальной симметрии, как такие фигуры станут выглядеть совсем по-другому.

    Повороты, отражения и переносы помогают преобразовать  фигуру в симметричную группу. Каждая симметричная фигура (или группа фигур) обладает одним или несколькими элементами симметрии: осью симметрии, плоскостью симметрии или осью переноса. Они, равным повтором группируя фигуры, воссоздают движение и придают ему тот или иной характер: ось симметрии создает последовательное вращательное движение, плоскость симметрии – возвратное прямолинейное движение, ось переноса – прямолинейное движение. Ось симметрии и плоскость симметрии замыкают движение в фигуре (или группе фигур), подчеркивая ее целостность и самостоятельность. Симметрия вращения и симметрия отражения, придающие фигуре (или группе фигур) равновесие и покой, обычно применяются в оформлении статичного предмета (здание, ваза). Ось переноса, напротив, развертывает движение в двух направлениях, что сообщает форме предмета динамику. Симметрия переноса применяется при оформлении предметов движущихся или имеющих отношение к движению (решетки мостов, стены и полы коридоров и проходов в метро и пр.).

    В природе идеально симметричные предметы встречаются очень редко. В большинстве случаев наблюдаются некоторые отклонения. В искусстве полной симметрии тоже нет, зато художники используют понятие «уравновешенности» правой и левой сторон картины, скульптуры или предмета декоративно-прикладного искусства. В частности, для русской народной резьбы по дереву характерно то, что она выполнялась «на глаз», в ней нет геометрической точности, присущей западной народной резьбе . Отсутствие геометричности и строгой симметрии в полной мере компенсируется равновесием композиции резного рисунка, живописностью и эстетичностью.

   Асимметрия

    Если  в предмете (или фигуре) отсутствует  элементы симметрии, то их называют ассиметричными. Асимметрия всегда придает пластической форме динамику и выявляет ее потенциальную способность к движению. Поэтому принципы асимметрии лежат в основе изображения предметов движущихся или имеющих какое-то отношение к движению либо предметов, в которых надо выразить внутреннюю энергию, жизнь. Скрытые «динамичные» возможности данного композиционного средства объясняются тем, сто возникающее в асимметричной фигуре сильное движение не может замкнуться в себе – оно перетекает на соседние предметы и среду. Получая в них логическое продолжение, оно замыкается и делает фигуру устойчивой, эстетически привлекательной. В этом случае асимметрия рассматривается как промежуточная фаза, как переход от одного вида симметрии к другому. Например, движение асимметричной группы памятника Минину и Пожарскому обращено к площади, к народу, здесь оно находит свое смысловое завершение.  

    Таким образом мы видим, что в природе все находится в равновесии: есть покой и движение, а значит симметрия и асимметрия, которые только дополняют друг друга и делают наш мир гармоничным. 

Первоначально понятие "симметрия" употреблялось в двух значениях. В одном смысле симметричное означало нечто пропорциональное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова - равновесие. Греческое слово означает однородность, соразмерность, пропорциональность, гармонию.

В настоящее  время существует множество подходов к определению понятий симметрии  асимметрии. Одним из таких подходов является определение указанных  категорий на основе перечисления их важнейших признаков. Например, симметрия определяется как совокупность свойств: порядка, однородности, соразмерности, пропорциональности, гармоничности и т. д. Асимметрия же обычно определяется как отсутствие признаков симметрии, как беспорядок, несоразмерность, неоднородность и т. д. Согласно подобным определениям в одних случаях симметрия -- это однородность, а в других -- соразмерность и т. д. Очевидно, что по мере развития нашего познания к определению симметрии можно прибавлять все новые и новые признаки. Поэтому определения симметрии такого рода всегда неполны.

То же можно  сказать и о существующих определениях асимметрии. Очевидно, что в определениях понятий, сформулированных по принципу перечисления свойств объектов, ими  отражаемых, отсутствует связь между перечисленными свойствами объектов. Такие свойства симметрии, как, например, однородность и соразмерность, друг из друга не следуют.

Нельзя, однако, говорить о бесполезности вышеуказанных  определений симметрии и асимметрии. Наоборот, они весьма полезны и необходимы. Без них нельзя дать и более общее определение категорий симметрии и асимметрии. На основе подобных эмпирических определений симметрии и асимметрии развиваются определения более общего характера, сущность которых - в соотнесении частных признаков симметрии и асимметрии к определенным всеобщим свойствам движущейся материи. "В симметрии, -- пишет А. В. Шубников, -- отражается та сторона явлений, которая соответствует покою, а в дисимметрии (по нашей терминологии в асимметрии) та их сторона, которая отвечает движению".

Таким образом, все свойства симметрии рассматриваются  как проявления состояний покоя, а все свойства асимметрии -- как  проявления состояний движения. Вряд ли можно с таких позиций правильно  понять многие свойства симметрии и  асимметрии. Почему, например, такую симметрию пространства, как его однородность, должны рассматривать как соответствующую покою? Почему мы должны искать симметрию только среди покоящихся явлений? Разве нет симметрии во взаимодействии и движении явлений мира? Мысль о связи между понятиями симметрии и асимметрии и соответственно между понятиями покоя и движения точнее можно выразить как единство покоя и движения. Понятие симметрии раскрывает момент покоя, равновесия в состояниях движения, а понятие асимметрии - момент движения, изменения в состояниях покоя, равновесия. Но и такая формулировка не охватывают основные признаки симметрии и асимметрии. Можно сделать вывод, что в идее А. В. Шубникова о соотнесении симметрии с покоем, а асимметрии - с движением заключается только момент истины.

Математически строгое представление о симметрии  сформировалось сравнительно недавно - в ХIХ веке. В наиболее простой  трактовке известного немецкого  математика Германа Вейля (1855-1955) современное  определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к каким-то преобразованиям, выполняемым над ним. Таким образом, в основе данного определения лежит идея инвариантности (т. е. неизменности) относительно некоторых преобразований как основа определения симметрии и асимметрии. Геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными. Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72° (360°: 5), займет первоначальное положение, а будильник одинаково зазвенит в любом углу комнаты. Первый пример дает понятие об одном из видов геометрической симметрии - поворотной, а второй иллюстрирует важную физическую симметрию - однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства. Благодаря последней симметрии все физические приборы (в том числе и будильник) одинаково работают в разных точках пространства, если, конечно, не изменяются окружающие физические условия.

Таким образом, не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные  физические и биологические законы гравитации, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех них  принципом симметрии. "Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности", -писал Вернадский. Действительно, еще Платон мыслил атомы четырех стихий - земли, воды, огня и воздуха – геометрически-симметричными в виде правильных многогранников. И хотя сегодня "атомная физика" Платона кажется наивной, принцип симметрии и через два тысячелетия остается основополагающим принципом современной физики атома. За это время наука прошла путь от осознания симметрии геометрических тел к пониманию симметрии физических явлений.

Итак, в современном понимании симметрия - это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем. Важнейшим свойством симметрии является сохранение (инвариантность) тех или иных признаков (геометрических, физических, биологических и т. д.) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Математическим аппаратом изучения симметрии сегодня является теория групп и теория инвариантов.