Исследование прочности приклеивания подошвы обуви

1. Характеристики.

 

     Исключение разновыделяющихся величин.

     Для первого опыта U=1 и входном параметре Xu=10 смотрим, что

Yuv max = 328,00 мм

 Yuv min = 323,00 мм.

     Для этого случая (первой строки матрицы) определяем:

1. Среднее значение У с учетом Y max и Y min
2. Определение дисперсии или квадратического отклонения
3. Определение среднеквадратического отклонения

 
 

и – номер опыта.

k – количество ошибок

ys – у среднее

d - дисперсия

s – среднеквадратическое отклонение 
 
 

2. Гипотеза  о нормальном распределении

 

     Нормальным  называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью.

     Нормальное  распределение определяется двумя  параметрами – математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением нормального распределения. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.

     Проверка  гипотезы о нормальном распределении  величин У

     по  критерию W.

     нулевая гипотеза – нормальное распределение  – У

 
 

     Для и = 1, 2, 3, 4, 5 Wr > Wt, т.е. нулевая гипотеза принимается. 

3. Проверка  однородности дисперсий.

 

     Дисперсия, как видно, представляет собой сумму квадратов возможных отклонений случайной величины от ее среднего значения, взятых с «весовыми» коэффициентами, равными вероятностям соответствующих отклонений. Говоря иначе, она представляет собой математическое ожидание квадратов отклонений случайной величины от ее среднего значения. Таким образом, дисперсия является характеристикой возможных отклонений случайной величины от ее среднего значения.

     Чем большие отклонения в обе стороны  от среднего значения возможны у данной случайной величины и чем больше вероятности таких отклонений, тем больше дисперсия случайной величины. В частном случае, когда среднее значение равно нулю, дисперсия характеризует разброс значений случайной величины в обе стороны от нуля.

     Само  слово «дисперсия» обозначает «рассеяние». Дисперсия имеет размерность  квадрата размерности случайной  величины. Дисперсия, как и среднее  значение, является величиной не случайной. Среднее значение может быть положительным, отрицательным или равным нулю; дисперсия—всегда число положительное.

     Простейшим  критерием проверки однородности дисперсий  является критерий Фишера, который  представляет из себя отношение большей  дисперсии к меньшей:

     Полученная  величина F сравнивается с табличной величиной. Если F> , то дисперсии значимо отличаются друг от друга и тогда они неоднородны. Если сравнивается много дисперсий (более двух) и одна из дисперсий значимо превышает остальные, то можно применять критерий Кочрена — это отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий: Расчетное сравнивают с табличным, которое определяют в зависимости от числа опытов в матрице и числу степеней свободы дисперсии.

     Гипотеза  об однородности подтверждается, если G<G_t, где G_t - табличное значение

Проверка  однородности дисперсий с помощью  критерия Кочрена.

Расчетное значение критерия Gr: 0,2923

Табличное значение критерия Gt: 0,5981

Gr < Gt, т.е. гипотеза об однородности дисперсий принимается. 

4. Определение средней дисперсии.

 

Дисперсия воспроизводимости: 2,9015

5. Линейная корреляция.

     Наиболее  часто используемый коэффициент  корреляции Пирсона r (Pearson, 1896) называется также линейной корреляцией (термин корреляция впервые ввел Galton, 1888), т.к. измеряет степень линейных связей между  переменными.

 Можно  сказать, что корреляция определяет  степень, с которой значения  двух переменных пропорциональны  друг другу. Важно, что значение  коэффициента корреляции не зависит  от масштаба измерения. Пропорциональность  означает просто линейную зависимость.  Корреляция высокая, если на  графике зависимость можно представить  прямой линией (с положительным  или отрицательным углом наклона). Проведенная прямая называется  прямой регрессии или прямой, построенной методом наименьших  квадратов. 

Ys – экспериментальное значение

Yr – теоретическое значение

       График уравнения.

     

     2.6 Определение адекватности  модели с помощью  критерия Фишера. 

     Для того чтобы принять решение относительно модели необходимо проверить гипотезу: линейная модель по параметрам удовлетворительно  описывает экспериментальные данные

Проверку  адекватности модели выполняют с  помощью критерия Фишера:

где — дисперсия неточности модели,  — дисперсия ошибки эксперимента. Если Ft < Fr, то гипотеза о том, что линейная модель адекватна, принимается. Здесь Ft - табличное значение; Fr- расчетное значение. При Ft > Fr  гипотеза адекватности линейной модели по параметрам отвергается.

     Расчетное значение критерия Fr: 1626,5677

     Табличное значение критерия Ft: 3,1000

     Ft > Fr , т.е. гипотеза об адекватности линейной модели отвергается. 

2.7.Значимости коэффициентов регрессии. 

     Для определение коэффициентов регрессии  лучше всего подходит метод наименьших квадратов - сумма квадратов расстояний (вычисленная по оси Y) от наблюдаемых точек до прямой является минимальной из всех возможных. Заметим, что использование квадратов расстояний приводит к тому, что на оценки параметров сильно влияют выбросы.

     Этот  метод применяется при выполнении следующих условий:

1. Значение выходного параметра Yu в каждом u-том опыте матрицы планирования эксперимента представляют собой независимые переменные, нормально распределенные случайные величины.
2. Дисперсии выходного параметра в различных опытах матрицы однородны или пропорциональны некоторой функции от Хu.
3. Значение уровней факторов не являются линейной комбинацией от уровня остальных факторов.
4. Точность определения значений выходного параметра значительно ниже точности определения величин уровня фактора.

     Определение значимости коэффициентов регрессии  и их доверительных интервалов.

     d0= 159,110                                                              d1= - 8,110

     Значимость  d0: 180,8847

     Значимость  d1: 130,3807

     Табличное значение: 2,0690

     Коэффициент d0 значим

       Коэффициент d1 значим 

     2.8. Доверительные интервалы 

     Доверительный интервал в математической статистике — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он накрывает данный параметр с заданной вероятностью.

     157,2901 <= d0 <= 160,9299

     - 8,2382 <= d1< = - 7,9808 

     2.9. Доверительные интервалы  средних значений.

 

     Ys – теоретическое значение

     Y min<= Ys <=Y max

      

     2.10. Доверительные интервалы  индивидуальных значений.