Нерівності з модулем і параметрами

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Рівненський державний  гуманітарний університет

 

 

 

 

 

Реферат

на тему:

 «^{Нерівності з модулем і параметрами»}

 

 

 

 

 

Підготувала

студентка ІІІ курсу ФМІ

групи МІ-32

Кичан І.П.

Перевірила

доц.Сяська Н.А.

 

 

 

Рівне-2011

Вступ 
 
Гарні знання математики обумовлюють уміння вирішувати завдання високого рівня складності. До них, зокрема, відносяться завдання з абсолютною величиною і параметрами, які завжди були популярні й улюблені авторами завдань для вступних іспитів. Для складання подібних завдань зазвичай використовуються досить прості висловлювання (зокрема квадратний тричлен), дії з якими не виходять за рамки шкільної програми, наприклад курсу алгебри 8-9 класів. Такі завдання можна ускладнити за допомогою параметрів і різних умов до рівня вступних іспитів з математики до вузів.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Традиційний спосіб розвязування нерівностей з модулем і параметрами. 
Розглянемо наступну задачу. 
Завдання. 
Знайдіть всі пари чисел p і q, при яких нерівність  виконується для всіх значень x на відрізку . 
Для розв’язування цього завдання необхідне розуміння наступних фактів.

Твердження 1. 
Всі графіки квадратичної функцій виду y = t2 + pt + q як геометричні фігури рівні міжсобою і виходять один з одного паралельним перенесенням (тобто вид графіка від параметрів p і q не залежить). 
Доведення цього твердження стає зрозумілим після виділення повного квадрата.

t²+pt+q=t²+pt+ – +q= – +q= (t–t_в) ²– +q

Твердження 2. 
Множина значень квадратної функції y = t2 + pt + q на відрізку [m; n] є відрізок, довжина якого не залежить від q (так як обчислюється як різниця значень функції в деяких двох точках). 
Нехай довжина відрізка множини значень квадратичної функції y = t2 + pt + q навідрізку [m; n] позначена як L_y (m; n). Враховуючи, що L_y (m; n) – різниця максимального і мінімального значень цієї функції, отримаємо наступне.

 

1. Якщо вершина параболи знаходиться за межами відрізка [m; n] (при чому лівіше нього), тобто -  m, то 
L_у (m; n) = y (n)-y(m) = n² + pn + q-m²-pm-q = (n-m) (n + m) + p (n-m) = 
= (n-m) (n + m + p), де n-m = l-довжина відрізка [m;n]. 
L_у (m;тобто n) = l (n + m + p). 
 
2.Якщо вершина параболи лежить між лівою границею відрізка [m; n] і серединою цього відрізка, тобто m – , то

L_y(m;n)=y(n)–y =n²+pn+q– + +q =

=n +pn+q– + –q = n +pn+ = +p =

= =

3. Якщо вершина параболи лежить між серединою відрізка [m; n] і правою границею цього відрізка, тобто – n.

L_y(m;n)=y(m)–y =m²+pm+q– + +q =

=m +pm+q– + –q=m – +pm+ =

= +p = = .

4.Якщо вершина параболи знаходиться за межами відрізка [m; n] (при чому правіше нього), тобто n – , то

L_y(m;n)=y(m)–y(n)=m +pm+q–n –pn–q=

=(m+n)(m–n)+p(m–n)=(m–n)(m+n+p)=–l(m+n+p).

Величину L_у(m; n) прийнято називати коливанням функції на відрізку.

                –l(m+n+p), если p –2n,

 

                , если –2n p –m–n,

L_y(m;n)=   

                , если –m–n p –2m,

 

                l(m+n+p), если –2m p.

Таким чином, найменше коливання досягається, якщо абсцисса вершини параболи збігається з серединою відрізка [m; n].

Твердження 3. 
Мінімальна довжина відрізка множини значень квадратної функції досягається тоді і тільки тоді, коли вісь графіка цієї функції (тобто вісь параболи) проходить черезсередину відрізка [m; n].

Виведемо формулу мінімального коливання функції.

Якщо =

= , то отримаємо наступне:

 Якщо , значит . Виконуємо заміну.

Тут l = m – n.

Тоді 

.

Властивість квадратного тричлена. 
Коли аргумент квадратного тричлена t2 + pt + q «пробігає» відрізок довжини l, значення квадратного тричлена «пробігає» відрізок довжини не меншою .

Розглянемо функцію .

Нехай , M-найбільше значення функції на відрізку [m; n]. Тоді 

.  (1)

Властивість модуля квадратного тричлена. 
Коли аргумент квадратного тричлена  «пробігає» відрізок довжини l, значення модуля квадратного тричлена «пробігає» відрізок довжини, не меншою ,

Тобто                                

 При цьому рівність виконується, якщо абсциса вершини параболи збігається з серединою відрізка, а значення квадратного тричлена на кінцях відрізка рівні M.

 

Таким чином, ми отримали розв’язок  задачі 1. Залишається лише підставити значення m і n.

Відповідь:

Розглянемо  деякі приклади нерівностей

Задача 1

При яких значенях параметра a нерівність х² + 4|x − a| > a² справедлива для всіх значень x?

Розв'язок

При нерівність рівносильна наступному:

 або

Остання квадратна нерівність буде справедливою для всіх х з проміжку якщо виконується умова тобто

Якщо  то по аналогії з попереднім випадком приходимо до нерівності яка буде справедливою для всіх x з розглянутого проміжку при

Відповідь:

 

Задача 2

При яких значеннях параметра  нерівність має розв'язки?

Розв'язок

Дана нерівність рівносильна наступній

Введемо    та   графіки яких наведено на малюнку.

Для фіксованого значення a позитивним рішенням нерівності буде те позитивне x₀, при якому точка графіка лежить вище точки графіка

Зауважимо, що при  графік функції проходить через точку з координатами  

При руху графіка y₂ вправо (і зменшенні a) графіки двох функцій мають точку перетину x₀> 0, при чому парабола вище графіка з модулем. 
Це означає, що нерівність має позитивні рішення.

Знайдемо тепер значення a, при якому графіки стосуються в точці з позитивною абсцисою. Очевидно, це буде за умови , що   Останнє рівняння має єдине позитивне рішення  при   або

Таким чином  при  два графіки мають спільну точку на інтервалі а вихідна нерівність має позитивні розвязки.

Відповідь: 

 

Задача 3

Залежно від параметра розв’яжіть нерівність

Розв'язок

Перепишемо вихідну нерівність у вигляді Розглянемо дві функці (графік - пряма, параллельна осі Ox) та Другу функцію, розкриваючи модулі, можна записати так:

Графіком y₂ (x) є ламана, наведена на малюнку.

Розв'язком нерівності будуть ті значення х при яких  точки графіка  лежать вище точок графіка з малюнку отримуємо, що при таких точок немає, але при - це точки виду тобто при розв’язком є проміжок   а при розв’язок  випливає з нерівності звідки

Відповідь: Якщо то розв’язків немає,

 Якщо 

 Якщо 

 Задача 4

Знайти найменше ціле значення параметра  , при якому нерівність має хоч би один від’ємний розв’язок.

Розв’язування.

Цей приклад теж доцільно розв’язувати графічно, тому що задана нерівність має модуль . Спочатку нерівність треба записати у вигляді

     (1)

Тоді графічно розв’язком нерівності будуть усі точки осі  Ох, в яких парабола

знаходиться над прямою  . Будуємо графіки параболи і прямої для значень (мал.1). Тоді, наприклад, коли а = 0, то

розв’язком нерівності (1) є відрізок . Пряма розташовується над віссю Ох (рис.1). Нерівність (1) має від’ємні розв’язки, коли парабола і пряма перетинаються.

мал.1

Критичні значення знаходимо із умови торкання прямої і параболи. Не-

хай зліва ці лінії  мають спільну точку  (мал.1). Тоді пряма (рівняння правого променя лінії ) є дотичною до параболи у точці . Згадуємо що рівняння дотичної до прямої у = у(х) в точці має вигляд  або ). Знаходимо, що для параболи

похідна . Тоді отримаємо наступне рівняння дотичної до параболи (2)

Рівняння  і (2) визначають одну пряму, тому  . Звідси .

Враховуючи симетрію, за аналогією дістаємо праве критичне значення

3,25. Таким чином отримуємо наступний інтервал значень .

Найменше ціле значення а = –3.

Відповідь: а = –3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаної літератури:

1. Кузнецов В.М., Бредіхін Ю.Р.,Звонарьова О.В. Методичні вказівки для слухачів  підготовчих курсів, абітурієнтів і ліцеїстів. Рівняння і нерівності з параметрами та оберненими тригонометричними функціями.
2. Амелькин В.В. Задачи с пераметрами.
3. Вересова Е.Е., Полякова Т.Н. Практикум по решению математических задач.
4. Е. А. Ефимов, Л. В. Коломиец. Задачи с параметрами. Учебное пособие для факультета довузовской підготовки СГАУ