Задача о замене оборудования

Министерство  образования и науки Республики Казахстан

Костанайский государственный университет имени А.Байтурсынова

Кафедра программного обеспечения

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

На  тему: «Задача о замене оборудования»

Специальность 050704 – Вычислительная техника и  программное обеспечение

 

 

 

 

 

Выполнила:     Золотухина И., студентка 2 курса

очной формы  обучения

 

 

 

Руководитель:     Байманкулов А.Т., доцент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Костанай, 2011г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………... 1. Характеристика состояния хозяйствующего  субъекта и выявление тенденций  его развития…………………………………………………...  2. Информационно-методическое  обеспечение экономического моделирования.  2.1 Методическая  база решения модели. 2.2 Информационно-методическое  обеспечение метода. 3. Расчет  показателей экономико-математической  модели и экономическая интерпретация  результатов. Заключение. Список литературы. Приложения

3   4   7 7 12   17 29 31 32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Большинство методов  исследования операций связано в  первую очередь с задачами вполне определенного содержания. Классический аппарат математики оказался малопригодным  для решения многих задач оптимизации, включающих большое число переменных и/или ограничений в виде неравенств. Несомненна привлекательность идеи разбиения задачи большой размерности  на подзадачи меньшей размерности, включающие всего по нескольких переменных, и последующего решения общей задачи по частям. Именно на этой идее основан метод динамического программирования.

Динамическое  программирование (ДП) представляет собой  математический метод, заслуга создания и развития которого принадлежит прежде всего Беллману. Метод можно использовать для решения весьма широкого круга задач, включая задачи распределения ресурсов, замены и управления запасами, задачи о загрузке. Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого оптимального решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

Происхождение названия динамическое программирование, вероятно, связано с использованием методов ДП в задачах принятия решений через фиксированные промежутки времени (например, в задачах управления запасами). Однако методы ДП успешно применяются также для решения задач, в которых фактор времени не учитывается. По этой причине более удачным представляется термин многоэтапное программирование, отражающий пошаговый характер процесса решения задачи.

Фундаментальным принципом, положенным в основу теории ДП, является принцип оптимальности. По существу, он определяет порядок поэтапного решения допускающей декомпозицию задачи (это более приемлемый путь, чем непосредственное решение задачи в исходной постановке) с помощью рекуррентных вычислительных процедур.

Динамическое  программирование позволяет осуществлять оптимальное планирование управляемых  процессов. Под «управляемыми» понимаются процессы, на ход которых мы можем  в той или другой степени влиять.

Пусть предполагается к осуществлению некоторое мероприятие  или серия мероприятий («операция»), преследующая определенную цель. Спрашивается: как нужно организовать (спланировать) операцию для того, чтобы она была наиболее эффективной? Для того, чтобы поставленная задача приобрела количественный, математический характер, необходимо ввести в рассмотрение некоторый численный критерий W, которым мы будем характеризовать качество, успешность, эффективность операции. Критерий эффективности в каждом конкретном случаи выбирается исходя из целевой направленности операции и задачи исследования (какой элемент управления оптимизируется и для чего).

Сформулируем  общий принцип, лежащий в основе решения всех задач динамического  программирования («принцип оптимальности»):

«Каково бы ни было состояние системы S перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным».

Динамическое  программирование – это поэтапное  планирование многошагового процесса, при котором на каждом этапе оптимизируется только один шаг. Управление на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем.

При постановке задач динамического программирования следует руководствоваться следующими принципами:

1. Выбрать параметры (фазовые координаты), характеризующие состояние S управляемой системы перед каждым шагом.
2. Расчленить  операцию на этапы (шаги).
3. Выяснить набор шаговых управлений x_i для каждого шага и налагаемые на них ограничения.
4. Определить какой выигрыш приносит на i-ом шаге управление x_i, если перед этим система была в состоянии S, т.е. записать «функцию выигрыша»:

.

5. Определить, как изменяется состояние S системы S под влиянием управление x_i на i-ом шаге: оно переходит в новое состояние

. (1.1)

6. Записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее условный оптимальный выигрыш W_i(S) (начиная с i-го шага и до конца) через уже известную функцию W_i+1(S):

. (1.2)

Этому выигрышу соответствует условное оптимальное  управление на i-м шаге x_i(S) (причем в уже известную функцию W_i+1(S) надо вместо S подставить измененное состояние )

7. Произвести условную оптимизацию последнего (m-го) шага, задаваясь гаммой состояний S, из которых можно за один шаг дойти до конечного состояния, вычисляя для каждого из них условный оптимальный выигрыш по формуле
8. Произвести условную оптимизацию (m-1)-го, (m-2)-го и т.д. шагов по формуле (1.2), полагая в ней i=(m-1),(m-2),…, и для каждого из шагов указать условное оптимальное управление x_i(S), при котором максимум достигается.

Заметим, что  если состояние системы в начальный  момент известно (а это обычно бывает так), то на первом шаге варьировать  состояние системы не нужно - прямо  находим оптимальный выигрыш  для данного начального состояния  S₀. Это и есть оптимальный выигрыш за всю операцию

9. Произвести безусловную оптимизацию управления, «читая» соответствующие рекомендации на каждом шаге. Взять найденное оптимальное управление на первом шаге ; изменить состояние системы по формуле (1.1); для вновь найденного состояния найти оптимальное управление на втором шаге х₂^* и т.д. до конца.

Данные этапы  рассматривались для аддитивных задач, в которых выигрыш за всю  операцию равен сумме выигрышей  на отдельных шагах. Метод динамического  программирования применим также и  к задачам с так называемым «мультипликативным» критерием, имеющим  вид произведения:

(если только  выигрыши w_i положительны). Эти задачи решаются точно так же, как задачи с аддитивным критерием, с той единственной разницей, что в основном уравнении (1.2) вместо знака «плюс» ставится знак «умножения»: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи о замене

Постановка задачи

 

Одной из важных экономических проблем, с которыми приходится встречаться на практике, является определение оптимальной стратегии в замене старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т. д., другими словами, старого оборудования — на новое.

Старение оборудования включает его  физический и моральный износ, в  результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются затраты на его ремонт и обслуживание, а вместе с тем снижаются производительность и так называемая ликвидная стоимость.

Наступает момент, когда старое оборудование более выгодно" продать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой  больших затрат. При этом оборудование можно заменить либо новым оборудованием  того же вида, либо новым, более совершенным  в техническом отношении, с учетом технического прогресса.

Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных  сроков замены. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации. Известно, что при заданном плане выпуска продукции максимизация прибыли эквивалентна минимизации затрат. Практически удобнее пользоваться вторым критерием, вводя для учета снижения производительности условно приведенные затраты.

Условимся считать, что решения  о замене оборудования принимаются периодически в начале каждого промежутка (года, месяца, недели и т. д.), на которые разбит плановый период. Предположим также, что оборудование может использоваться неограниченно долго, если тратить достаточные суммы на его ремонт.

Основной характеристикой оборудования является его возраст. От возраста оборудования зависят эксплуатационные расходы, затраты на производство, производительность и ликвидная стоимость. Эти показатели изменяются, если учитывать технический прогресс, не только при замене старого оборудования новым, с новыми технико-экономическими характеристиками, но и новым того же типа, еще не использованным. В последнем случае изменение вызвано моральным износом.

Метод ДП обеспечивает единый подход к решению всех видов задач  о замене.

При составлении модели ДП мы рассматриваем процесс замены как n-шаговый, разбив весь плановый период на n промежутков. Так как в начале каждого из этих промежутков принимается решение либо о сохранении оборудования, либо о его замене, то управление на k-м шаге (k=1, ..., n) содержит всего лишь две альтернативные переменные. Обозначим через u^с решение, состоящее в сохранении старого оборудования, а через u^з решение, состоящее в замене старого оборудования новым. Функциональные уравнения, благодаря наличию двух альтернативных управлений на каждом шаге, содержат лишь две величины: одна выражает условную прибыль (условные затраты) при управлении u^с, другая—тот же показатель при управлении u^з. Условная оптимизация на каждом шаге состоит в вычислении двух величин и в выборе из них наибольшей (наименьшей). Это значительно упрощает расчеты на стадии условной оптимизации и позволяет решать вручную задачи о замене с большим числом шагов.

Построение модели ДП для  задачи о замене

Рассмотрим две модели ДП задачи о замене оборудования. В одной из них в качестве показателя эффективности выберем прибыль, которую следует максимизировать, в другой — суммарные затраты на эксплуатацию, которые следует минимизировать.

Задача 1. Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение n лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны:

p — начальная стоимость оборудования;

f(t) — стоимость производимой продукции на оборудовании возраста t лет;

r(t) — ежегодные затраты на эксплуатацию оборудования возраста t лет;

j(t) —ликвидная стоимость оборудования возраста t лет.

Рассмотрим n-шаговый процесс, считая k-м шагом номер k-го года от начала эксплуатации (k=1, 2, ... , n). Выше указывалось, что управление на k-м шаге выбирается из двух возможных решений: u^с — сохранить и продолжать использование старого оборудования или u^з — заменить оборудование новым.

Будем считать, что в начале планового  периода возраст оборудования равен t₀. Состояние S_k-1 системы (оборудования) в начале k-гo шага характеризуется одним параметром S_k-1 = t — возрастом оборудования. Для k-гo шага параметр состояния t может принимать значения 0,1, 2, ..., k-1, т. е. t ≤ k-1.

Если к началу k-гo шага система находилась в состоянии S_k-1 = t, то под влиянием управления u^с в конце k-гo шага она перейдет в состояние S_k=t+1; возраст оборудования увеличится на один год. Под влиянием управления u^з, принятого на k-м шаге, система перейдет в состояние S_k=1 (замену произвели в начале k-гo года; в конце k-гo года возраст нового оборудования равен одному году).

Уравнение состояния для данного процесса имеет вид

 (1)

На рис. 1 состояние системы изображается точкой плоскости в системе координат k, t сплошными стрелками указаны переходы из данного состояния в состояние, соответствующее управлению u^с, а пунктирными — управлению u^з.

Рис. 1

Определим прибыль на k-м шаге (показатель эффективности k-гo шага), соответствующую каждому из альтернативных управлений u^с и u^з. Выбирая на k-м шаге управление u^с, мы сможем произвести продукции стоимостью f(t) на старом оборудовании, что потребует затрат r(t), поэтому прибыль равна f(t)—r(t). Обозначим ее через

Z_k^c=f(t)-r(t)                         (1.2)

При управлении u^з получим доход j(t) от продажи старого оборудования (ликвидную стоимость) и f(0) от произведенной на новом оборудовании продукции, затратив p на приобретение нового оборудования и r(0) на содержание нового оборудования. В этом случае прибыль (обозначим ее через Z_k^з) составляет