Алгоритм  решения этой задачи можно описать  следующим образом:

       этап 1. Вычисляются оптимальные объемы заказов без учета ограничения по вместимости склада: 

         

       этап 2. Осуществляется проверка, удовлетворяют ли найденные значения ограничению по вместимости склада. Если это так, вычисления заканчиваются, при этом значения являются оптимальными. В противном случае следует перейти к этапу 3;

       этап 3. Ограничение по вместимости склада должно удовлетворяться в форме равенства. Используется метод множителей Лагранжа для определения оптимальных объемов заказа для задачи с ограничением.

       На  этапе 3 строится функция Лагранжа: 

       

       

       где множитель Лагранжа. 

       Поскольку функция Лагранжа является выпуклой, оптимальные значения и находятся из следующих уравнений, которые представляют собой необходимые условия экстремума функции Лагранжа: 

       

         

       Уравнение (2) показывает, что ограничение по вместимости склада в оптимальной точке должно удовлетворяться в форме равенства [18].

       Из уравнения (1) следует, что: 

         

       Полученная  формула показывает, что  зависит от оптимального значения множителя Лагранжа. Кроме того, при значение является решением задачи без ограничения.

       Значение  может быть найдено следующим образом. Так как по определению в поставленной выше задаче минимизации , мы последовательно уменьшаем на достаточно малую величину и используем ее в данной формуле для вычисления соответствующего значения . Искомое значение приводит к значениям , которые удовлетворяют по вместимости склада в форме равенства [15]. 

       1.4 Динамические задачи экономического размера заказа

 

       Рассматриваемые здесь модели отличаются от представленных в разделе 1.3. Во-первых, уровень запаса контролируется периодически на протяжении конечного числа одинаковых периодов. Во-вторых, объем спроса на протяжении периода хотя и является детерминированным, но в то же время он динамический, поскольку может периодически меняться.

       Ситуация, в которой имеет место переменный детерминированный спрос, называется планированием потребностей ресурсов. Подход к решению такой задачи рассмотрим на примере. Предположим, что на протяжении следующего года квартальный спрос на модели М1 и М2 некоторой продукции равен 100 и 150 единиц соответственно. Для изготовления каждой единицы модели М1 и М2 используется 2 единицы комплектующих деталей S. Срок изготовления комплектующих равен одному месяцу.

       На  рисунке 10-11 схематически представлено календарное планирование производства М1 и М2. Построение плана начинается с отображения в виде сплошных стрелок квартального спроса на две модели, который имеет место в конце 3-,6-,9- и 12-го месяцев. Затем при известных квартальных сроках пунктирные стрелки указывают начало производства каждой партии продукции М1 и М2 в 1-й и 2-й месяцы [15]. 

       

       Рисунок 10. Календарное планирование модель 1 

       

       Рисунок 11. Календарное планирование модель 2 

       Чтобы вовремя начать производство партий двух рассматриваемых моделей, поставка комплектующих S должна совпадать с началом производства М1 и М2, т.е. с пунктирными стрелками в планах их производства. Эта информация представлена сплошными стрелками на S-схеме, где учитывается, что спрос на комплектующие S равен 2 единицам на каждую единицу продукции М1 и М2. Если учесть, что срок изготовления комплектующих равен одному месяцу, пунктирные стрелки на S-схеме определяют план производства комплектующих. Исходя из указанных двух планов, можно определить соответствующий суммарный спрос на S, как это показано на рисунке 12.  
 

       

       Рисунок 12. Суммарный спрос на S 

       Результирующий  переменный (но известный) спрос на комплектующие S представляет собой типичную ситуацию, когда применяются динамические модели экономичного размера заказа. При указанном переменном спросе на комплектующие S задача, по существу, сводится к определению объемов производства в начале каждого месяца для уменьшения затрат, связанных с производством и хранением продукции [19].

       В этом разделе представлены две модели. В первой не учитывается стоимость  размещения заказа, а вторая модель учитывает такие затраты. Эта  «маленькая» деталь порождает соответствующие отличия в сложности моделей [15]. 

       1.4.1 Модель при отсутствии затрат на оформление заказа

 

       В этой модели рассматривается задача календарного планирования производства, рассчитанная на n равных периодов. Возможные объемы производства в каждый из периодов ограничены, однако они могут включать несколько уровней (например, два возможных объема производства могут определяться обычным режимом работы и сверхурочными работами соответственно). На протяжении текущего периода могут производиться изделия для последующих периодов, но в этом случае должны учитываться затраты на их хранение.

       Основные  предложения модели состоят в  следующем:

1. отсутствие затрат на оформление заказа в любой период планирования;
2. отсутствие (недопустимость) дефицита;
3. стоимость производства единицы продукции в любой период либо является постоянной, либо имеет возрастающие предельные затраты (т.е. соответствующая функция затрат является выпуклой);
4. стоимость хранения единицы продукции в каждый период является постоянной величиной.

       Предложение об отсутствии дефицита означает, что спрос на продукцию на протяжении текущего периода не может быть удовлетворен за счет ее производства в последующие периоды. Это предположение по крайней мере требует, чтобы суммарные возможности производства за периоды 1, 2, …, i были равны суммарному спросу на продукцию за это же время.

       На  рисунке 13 показано, когда производственные затраты на единицу продукции возрастает с увеличением уровня производства. Например, при двух возможных объемах производства, которые определяются обычным режимом работы и сверхурочными работами, стоимость производства единицы продукции, производимой в сверхурочное время, выше, чем при обычном режиме работы. 

       

       Рисунок 13. Выпуклая функция затрат 

       Рассматриваемую задачу n - этапного планирования можно сформулировать в виде транспортной задачи с kn пунктами производства и n потребителями, где k – количество возможных уровней производства на протяжении периода (например, если на протяжении каждого периода используется регулярный и сверхурочный режим работы, то k =2). Производственные возможности каждого из kn пунктов производства определяют объемы поставок. Объемы потребления определяются объемом спроса для каждого периода. Себестоимость «перевозки» от пункта производства до пункта назначения определяется суммой затрат используемого производственного процесса и стоимости хранения единицы продукции. Оптимальное решение такой транспортной задачи определит объемы производства продукции для каждого производственного уровня, которые минимизируют суммарные затраты на производство и хранение [15]. 

       1.4.2 Модель с затратами на оформление заказа

 

       В рассматриваемой модели предполагается, что дефицит не допускается и  затраты на оформление заказа учитываются всякий раз, когда начинается производство новой партии продукции. Здесь будут рассмотрены два метода решения этой задачи: точный метод динамического программирования и эвристический.

       Данная  задача управления запасами схематически представлена на рис 14. На этом рисунке использованы обозначения следующих величин, определенных для каждого этапа :

        количество  заказанной продукции (объем заказа);

         потребность  в продукции (спрос);

         объем  запаса на начало этапа i. 

       

       Рисунок 14. Схема управления запасами с затратами на оформление заказа 

       Стоимостные элементы в рассматриваемой задаче определяются так:

        затраты на оформление заказа;

         затраты на хранение единицы продукции, переходящей из этапа в этап .

       Соответствующая функция производственных затрат для этапа задается формулой: 

       

       где функция предельных производственных затрат при заданном значении  

       Алгоритм  динамического программирования с общей функцией стоимости. Поскольку дефицит не допускается, задача управления запасами сводится к вычислению значений , минимизирующих суммарные затраты, связанные с размещением заказов, закупной и хранением продукции на протяжении n этапов. Затраты на хранение на - ом этапе для простоты предполагаются пропорциональными величине: 

       

которая представляет собой объем запаса, переходящего из этапа в этап  

       Для рекуррентного управления процедуры  прогонки состояние на этапе (периоде) определяется как объем запаса на конец этапа, где как следует из рисунка 14: 

         

       Это неравенство означает, что в предельном случае запас  может удовлетворить спрос на всех последующих этапах.

       Пусть минимальные общие затраты на этапах 1, 2,…, при заданной величине запаса на конец этапа . Тогда рекуррентное уравнение алгоритма прямой прогонки будет записано следующим образом: 

       

         

       Алгоритм  динамического программирования для задачи с постоянными или невозрастающими предельными затратами. Рассмотренную выше модель динамического программирования можно использовать при любых функциях затрат. Важным частным случаем этой модели является такая модель, в которой на этапе i как стоимость закупки единицы продукции, так и затраты на ее хранение – невозрастающие (вогнутые) функции объема закупаемой и хранимой продукции соответственно. Такая же ситуация возникает, когда функция стоимости, отнесенная к единице продукции, является постоянной или когда предоставляется оптовая скидка:

1. при заданном начальном уровне запаса ( ) для любого этапа i оптимальной стратегией является удовлетворения спроса за счет либо новой закупленной продукции, либо запаса, но не обоих источников, т.е. ;
2. оптимальный объем заказа на любом i должен либо равняться нулю, либо в точности соответствовать спросу одного или более последующих этапов.

       Использование указанных двух свойств с рекуррентным уравнением для алгоритма прямой прогонки динамического программирования позволяет упростить схему вычислений.