Принятие экономических решений в условиях неопределенности

Задание 1.

Оптимизация линейных моделей экономических  систем.

Тема 2: «Принятие  экономических решений в условиях неопределенности» 

Теоретические сведения

Для моделирования  процесса принятия экономического решения  в условиях неопределенности, вызванных наличием конкуренции, эффективен игровой подход, предложенный Фон-Нейманом.

Рассмотрим математическое описание игры двух лиц с противоположными интересами и нулевой суммой. Полагается, что у первого и второго  игроков конечное число способов поведения (стратегий).

Пусть – стратегии первого игрока, – стратегии второго игрока, тогда функцией дохода первого игрока называется соотношение , где - доход первого игрока при условии, что он выбрал стратегию , а его противник выбрал стратегию . Матрица называется платежной матрицей.

Решение игры –  это определение способа поведения каждого из игроков в максимальной степени нейтрализующего действия противника.  - оптимальные стратегии для первого и второго игроков. Их находят, используя верхнюю и нижнюю цену игры

 .

Если =, то  существует решение в чистых стратегиях, где - цена игры. Выбрав стратегии первый игрок гарантирует себе выигрыш не менее , второй - проигрыш не более. При правильной игре противника отклонение от оптимальной стратегии не имеет смысла.

Если , то решения в чистых стратегиях нет, и тогда, исходя из теоремы Фон-Неймана, задача имеет решение в смешанных стратегиях. Решение игры в смешанных стратегиях эквивалентно решению следующих задач:

1. Оптимальная стратегия первого игрока находится следующим образом:

1. из задачи 
    
   

      находим  ,…,.

2. далее находим
3. и находим оптимальную смешанную стратегию (, по формуле

 

 

2. Оптимальная стратегия второго игрока находится  следующим образом:

1. из задачи 
    
   

      находим  ,…,.

2. далее находим
3. и находим оптимальную смешанную стратегию (, по формуле

 

Данный алгоритм решения применим только при условии U0 (все элементы неотрицательны), которое на практике никогда не выполняется, поэтому игра может быть заменена игрой  0. Решение в смешанных стратегиях для такой игры будет таким же, как и для изначальной. 

 

Постановка  задачи

На рынке конкурируют 2 фирмы. На следующий год каждая из фирм имеет 3 варианта изменения  своей рыночной стратегии. При этом если 1-ая фирма выберет i-ю стратегию, а 2-ая – j-ю, то 1-ая фирма приобретет Uij% всего рынка сбыта (дополнительно к имеющимся в настоящее время). Предполагается, что матрица U={Uij} известна. Необходимо определить оптимальные рыночные стратегии для обеих фирм. 

Вариант 2:  U =  

Решение задачи.

1. Сформулировать соответствующую игровую задачу.

Определить оптимальные  рыночные стратегии двух конкурирующих  фирм, для которых платежная матрица  выглядит следующим образом:

U = 

2. Вычислить верхнюю и нижнюю цену игры.

Верхняя цена игры:

Нижняя цена игры:  
 

3. Выяснить имеет ли задача решение в чистых стратегиях.

Верхняя цена игры не равна нижней  , поэтому задача не имеет решения в чистых стратегиях. 

4. Вычислить оптимальные смешанные стратегии обеих фирм, заменив для этого матрицу U матрицей U₁0.

U₁ = U+4*I =

1. Найдем оптимальную стратегию первого игрока:

1. Найдем X* из системы:

 
 
 
 
 
 

2. Найдем  цену игры :

 

3. Найдем  оптимальную смешанную стратегию ( по формуле

 
 

2. Найдем  оптимальную стратегию второго игрока:

1. Найдем Y* из системы:

 
 
 
 
 
 

2. Найдем  цену игры :

 

3. Найдем  оптимальную смешанную стратегию ( по формуле

  
 

5. Вычислить ожидаемое изменение положения  обеих фирм на рынке:

 
 
 

6. Смоделировать результат произвольной игры с использованием найденных стратегий принятия решений для каждой из фирм.

   С учетом найденных стратегий  и

смоделируем результат произвольной игры с помощью программного пакета maple. Получаем, что первый игрок выбрал стратегию 2, а второй выбрал стратегию 3 и в итоге первый игрок приобрел 1% всего рынка сбыта дополнительно к имеющимся, а второй соответственно потерял 1 % всего рынка сбыта. 

7. Вычислить статистическую оценку ожидаемого выигрыша первой фирмы посредством обработки  результатов 100 независимых игр. Выяснить, каковы частоты появления наилучшего и наихудшего из всех возможных результатов  для обеих фирм.

 

Результат 100 независимых игр: {1,1,0,0,1,-4,-1,1,-2,1,0,-3,6,-3,-3,-3,-2,-1,-1,-2,6,20,-2,-2,1,0,-4,0,0,6,-2,-2,-1,-3,-2,1,2,-1,1,-2,1,-2,-2,0,1,0,1,1,-2,-1,0,-1,-2,1,0,1,2,2,-2,-4,-2,0,-2,2,-2,-4,-1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,2,1,-2,-2,1,-4,0,-2,-1,-1,-3,-2,1,-1,-2,-1,1,-3,-1,-2,2,1,0}

Статистическая  оценка ожидаемого выигрыша первой фирмы:    (для двух других результатов: ,).

Частота появления  наилучшего результата для первой фирмы (т.е. наихудшего для второй): ; полученная экспериментально: (для двух других результатов: , ).

Частота появления наилучшего результата для второй фирмы (т.е. наихудшего для первой): ; полученная экспериментально: (для двух других результатов: , ). 

Вывод:

Для решения  данной игровой задачи я нашел  смешанные оптимальные стратегии  игроков (в виду отсутствия чистой) и вычислил по формулам ожидаемое изменение положения обеих фирм на рынке. Получилось, что наиболее ожидаемым изменением положения на рынке для первого игрока будет потеря 0,4% рынка, а для второго, соответственно, приобретение 0,4% рынка (т.к. у нас игра с нулевой суммой). Далее я смоделировал результат 100 произвольных игр и вычислил изменение положения игроков на рынке: результат подтвердился с небольшой погрешностью.