СОДЕРЖАНИЕ 

 

1. Использование алгебры матриц в экономике 

     Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики - матричная алгебра - имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное - компактной матричной форме.

     С помощью матриц удобно записывать некоторые  экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):

       
 
 
 
 
 
 

     Может быть записана в компактной форме  в виде матрицы распределения  ресурсов по отраслям: 

 

     В данной записи, например, матричный  элемент а₁₁ = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент а₂₂ = 2,1 - сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

 

     2. Использование систем линейных уравнений в экономике

 

     К системам линейных уравнений приводит множество экономических задач. 

     Задача 

     Обувная фабрика специализируется по выпуску  изделий трех видов: сапог, кроссовок  и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей: 

 

     Найти ежедневный объем выпуска каждого  вида обуви.

     Решение 1.

     Пусть ежедневно фабрика выпускает x₁ пар сапог, x₂ пар кроссовок, x₃ пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему: 

 

     Решим систему по теореме Крамера.

     = 5 x 1 x 2 + 3 x 1 x 3 + 2 x 2 x 4 – 3 x 1 x 4 – 2 x 3 x 2 – 2 x 1 x 5 = 1, 

     Т.е. система имеет единственное решение:

 

     = 2700 x 1 x 2 + 3 x 1 x 1600 + 900 x 2 x 4 – 1600 x 1 x 4 –  900 x 3 x 2 – 2 x 1 x 2700 = 200, 

     x₁ = | A₁ | / | A | = 200 / 1 = 200.

 

     = 5 x 900 x 2 + 2700 x 1 x 3 + 2 x 1600 x 4 – 3 x 900 x 4 – 2 x 2700 x 2 – 1600 x 1 x 5 = 300, 

     x₂ = | A₂ | / | A | = 300 / 1 = 300. 

 

     = 5 x 1 x 1600 + 3 x 900 x 3 + 2 x 2 x 2700 – 3 x 1 x 2700 – 2 x 3 x 1600 – 2 x 900 x 5 = 200, 

     x₃ = | A₃ | / | A | = 200 / 1 = 200. 

     Т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.

     Ответ: (200, 300, 200).

 

     3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

 

     В настоящее время большое число  работ посвящается модели Леонтьева  многоотраслевой экономики. Эта  модель хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время сравнительно легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.

     Основной  задачей данной модели является нахождении вектора валового выпуска (X) по известному вектору конечного потребления (Y) и матрице коэффициентов прямых затрат (A), что эквивалентно решению балансового уравнения (в матричной записи): X=A*X+Y (1).Откуда: 

     X=(E-A)^-1Y. 

     Матрицу (E-A)^-1 называют матрицей коэффициентов косвенного потребления.

     Условием  разрешимости балансового уравнения  является существование и неотрицательность  данной матрицы (под неотрицательностью матрицы понимается неотрицательность  каждого ее элемента).

     Справедливо соотношение (E-A)^-1=E+A+A²+…. Откуда  

     X=Y+AY+A²Y+… (2). 

     Соотношение (2) показывает, что весь валовой выпуск слагается из затрат: 0-го порядка (Y), 1-го порядка (AY), 2-го порядка (A²Y) и т.д.

     Можно отметить, что при решении относительно простого балансового уравнения (1) возникает ряд подзадач:

• нахождение произведения матриц;
• вычисление обратной матрицы;
• учет ошибок округления при вычислениях.

     Кроме того, собственные векторы и собственные  значения матрицы A характеризуют степень  сбалансированности торговых отношений.

     Таким образом, расчет балансовой модели Леонтьева  позволяет не только познакомить  студентов с современными экономическими методами, но и рассмотреть некоторые  алгоритмы матричной алгебры. Кроме  того, студенты знакомятся с экономическим смыслом матрицы A и ее степеней. Описанный выше алгоритм позволяет рассматривать матрицы достаточно большого размера.

     Модель  Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).

     Цель  балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

     Связь между отраслями, как привило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая  их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

     Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление  данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

     Рассмотрим  процесс производства за некоторый  период времени (например, год).

     Введем  следующие обозначения:

     x_i - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n);

     x_ij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,...,n);

     y_i - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

     Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то 

     x_i = (x_i1 + x_i2+ ... + x_in) + y_i , (i = 1,2,...,n). 

     Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями  баланса. Будем рассматривать стоимостный  межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.

     Введем  коэффициенты прямых затрат: 

     a_ij = x_ij / x_j , (i,j = 1,2,...,n), 

     показывающие  затраты продукции i-й отрасли  на производство единицы стоимости j-й отрасли.

     Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты a_ij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.