Модель  идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

     Модель  неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

     Модель  сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

     Структурная модель всегда представляет собой систему  совместных уравнений, каждое из которых  требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

     Выполнение  условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения  системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

     Если  обозначить число эндогенных переменных в  -м уравнении системы через , а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, — через , то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

Таблица 1

     Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.

     Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации  определяются, если накладывать ограничения  на коэффициенты матриц параметров структурной  модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

     Целесообразность  проверки условия идентификации  модели через определитель матрицы  коэффициентов, отсутствующих в  данном уравнении, но присутствующих в  других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

     В эконометрических моделях часто  наряду с уравнениями, параметры  которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны . В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества участвуют. 
 
 

4. Методы оценки параметров структурной формы модели

     Коэффициенты  структурной модели могут быть оценены  разными способами в зависимости  от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

1. косвенный метод наименьших квадратов;
2. двухшаговый метод наименьших квадратов;
3. трехшаговый метод наименьших квадратов;
4. метод максимального правдоподобия с полной информацией;
5. метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

 

4.1. Двухшаговый метод наименьших квадратов

     Если  система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, так как он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут применяться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов.

      Основная  идея ДМНК — на основе приведенной  формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.

      Метод получил название «двухшаговый метод  наименьших квадратов», так как МНК используется дважды:

• на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной ŷ_i = δ_i1 х ₁ + δ_i2 х₂ + ... + δ_ij х_j
• на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

      Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

1. все уравнения системы сверхидентифицируемы;
2. система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.

      Если  все уравнения системы сверхидентифицируемы, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

      Применим  ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели 

            y₁ =b₁₂  (y₂ + x₁ )+е_1,

          y₂ = b₂₁y₁ + a₂₂x₂ +е_2. 

      Данная  модель может быть получена из предыдущей идентифицируемой модели

                    y₁ = b₁₂y₂ + a₁₁x₁+ е_1,

                   y₂ = b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + е_2,,      

                                                                                               

если  наложить ограничения на ее параметры, а именно:

                         b₁₂ = a₁₁

      В результате первое уравнение стало  сверхидентифицируемым: Н = 1 (у₁), D = 1 (x₂) и D + 1 > H.  Второе уравнение не изменилось и является точно идентифицируемым: Н = 2 и D = 1, D + 1 = H.

      На  первом шаге найдем приведенную форму  модели 

                    у₁ = б₁₁ x₁ + б₁₂ x₂ + и₁,

                   у₂ = б₂₁ x₁ + б₂₂ x₂ + и₂. 

      После того как найдены оценки эндогенной переменной у₂, т.е. ŷ₂, обратимся к сверхидентифицируемому структурному уравнению

                   y₁ =b₁₂  (y₂ + x₁ )

      Заменив фактические значения у₂ их оценками ŷ_2, найдем значения новой переменной

                   ŷ₂ + х₁ = z.

      Далее применим ДНК к уравнению

                   y₁ =b₁₂ z,

т.е.                           у₁z = b₁₂     z² 

Откуда:                                     y₁z

                   b₁₂ = __________

                   z²

         Таким образом, сверхидентифицируемое  структурное уравнение составит:

                    y₁ =b₁₂  (y₂ + x₁ )+е_1,

                   y₂ = b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + е_2,,                                                                                      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

     Эконометрика – это раздел экономики, занимающийся разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными (С.Фишер). С.А.Айвазян полагает, что эконометрика объединяет совокупность методов и моделей, позволяющих на базе экономической теории, экономической статистики и математики констатического инструментария придавать количественные выражения качественными зависимостями.

     Широкому  внедрению эконометрических методов  способствовало появление во второй половине ХХ века ЭВМ и в частности персональных компьютеров.

     Компьютерные  эконометрические пакеты сделали эти  методы более доступными и наглядными, так как всю наиболее трудоемкую работу, по расчетам статистики, параметров, построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер, а эконометристу осталась главным образом: постановка задачи, выбор соответствующих моделей и методов её решения, интерпретации результатов.

     Под системой эконометрических уравнений  обычно понимается система одновременных, совместных уравнений.

         Двухшаговый метод  наименьших квадратов является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК. Поэтому в ряде компьютерных программ, например, DSTAT для решения системы одновременных уравнений рассматривается лишь двухшаговый метод наименьших квадратов. 
 
 
 
 
 

Приложение 1

7 вариант

Задание №1

Модель  парной регрессии

Задание: используя исходные данные, построить модель парной регрессии для изучения зависимости х от у, построить диаграмму рассеяния.

Цель: поиск параметров парной линейной регрессии.

Решение:

1. Находим среднее значение величин х и у, _{=146,4 и =103,1}
2. _{Находим значение =21432,96}
3. Находим величину t=214329,6, t=10
4. Находим произведение х*у
5. Затем находим сумму ∑х*у=151853 и _{* =15093,84}
6. _{Находим * *}t=150938,4
7. Находим х² для 10 значений
8. Находим ∑ всех получившихся значений ∑х²=215398
9. Находим коэффициенты по формулам: