Моделирование одномерных временных рядов

 
 
 

     Посмотрим на график, после  корреляции:

       

        

       10

—        

  

                

                0

                          1    2    3    4    5    6    7    8   9    10   11   12 

Рис. 4 Потребление электроэнергии жителями региона.

    От  сюда следует, что структура этого  ряда такова, что каждый следующий  уровень  зависит от уровня  и  в гораздо большей степени, чем от уровня  . Посмотрим ряд .

Рис. 5 Коррелограмма временного ряда потребления  электроэнергии.  
 

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕНДЕНЦИИ ВРЕМЕННОГО РЯДА.

 

    Самым распространенным методом моделирования  тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней  ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

    Поскольку зависимость от времени может  принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функции. Для построения трендов  чаще всего применяются следующие  функции:

• линейные тренд: a + b ∙ t;
• гипербола: = a + b / t;
• экспоненциальный тренд: = ;
• степенная функция: = a ∙ ;
• Парабола второго и более высоких порядков:

= a + ∙ t + ∙ + … + ∙ .

    Параметры каждого из перечисленных выше трендов  можно определить обычным МНК  используя в качестве независимой  переменной время t = 1, 2, …, n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда . Для нелинейных трендов предварительно проводят  стандартную процедуру линеаризации.

    Существует  несколько способов определения  типа тенденции:

• Качественный анализ изучаемого процесса;
• Построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени;
• Расчет некоторых основных показателей динамики.

    В этих же целях можно использовать коэффициенты автокорреляции уровней  ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов  автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням  ряда. Если временной ряд имеете тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют.  В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда.  Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

    Выбор наилучшего уравнения в случае, когда  ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому  уравнению скорректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко реализуется  при компьютерной обработке данных.

    Пример 1: Расчет параметров тренда.

    Имеются помесячные данные о темпах роста  номинальной заработной платы в  РФ за 10 месяцев 1999 г. в процентах к уровню декабря 1998 г. (табл. 6). 
 

    Темпы роста номинальной  месячной заработной платы в РФ за 10 месяцев 1999 г., % к  уровню декабря 1998 г.

 
 

4. МОДЕЛИРОВАННИЕ  СЕЗОННЫХ И ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.

    Существует  несколько подходов к анализу  структуры временных рядов, содержащих сезонные и циклические колебания.

    Самый простейший подход, это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

    Общий вид аддитивной модели:    Y = T + S + E.

    Общий вид мультипликативной модели:   Y = T ∙ S ∙ E.

    Если  амплитуда колебаний приблизительно постоянна, то строят аддитивную модель временного ряда, в которой значение сезонной компоненты предполагаются постоянными  для   различных циклов.

    Если  амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, то строят мультипликативную  модель временного ряда, в которой  ставит уровни ряда в зависимость  от значений сезонной компоненты.

      Пример 2: Прогнозирование по аддитивной модели.

    Предположим, что по данным примера 2 требуется  дать прогноз потребления электроэнергии жителями района в течении первого  полугодия ближайшего следующего года.

    Прогнозное  значение уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением ( табл. 6) есть сумма трендовой и сезонной компонент.

    Объем электроэнергии, потребленной в течение  первого полугодия ближайшего следующего, то есть пятого года, рассчитывается как  сумма объемов потребления электроэнергии I и II кварталах пятого года, соответственно и . Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

    T = 5,715 + 0,186 ∙ t

    Получим:

     = 5,715 + 0,186 ∙ 17 = 8,877;

     = 5,715 + 0,186 ∙ 18 = 9,063.

    Значения  сезонной компоненты равны: = 0,581 (I квартал);  = -1,977 (II квартал).

    Таким образом,

     = + = 8,877 + 0,581 = 9,458;

     = + = 9,063 - 1,977 = 7,086.

    Прогноз объема потребления электроэнергии на первое полугодие ближайшего следующего (пятого) года составит:

    (9,458 + 7,086) = 16,544 млн. кВт∙ч 

    Пример 3: Прогнозирование по мультипликативной модели.

    Предположим, что нам необходимо сделать прогноз ожидаемой прибыли компании за первое полугодие ближайшего следующего года.

    Прогнозное  значение уровня временного ряда по мультипликативной модели, есть произведение трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты за каждый квартал воспользуемся уравнением тренда:

    T = 90,59 – 2,773 ∙ t;

    Получим:

     = 90,59 – 2,773 ∙ 17 = 43,401;

     = 90,59 – 2,773 ∙18 = 40,626.

    Значение  сезонной компоненты равны: = 0,913 (Iквартал), = 1,202 (II квартал).

    Таким образом,

     = ∙ = 43,401 ∙ 0,913 = 39,626;

     = ∙ = 40,626 ∙ 1,202 = 48,832.

    Прогноз ожидаемой прибыли компании на первое полугодие ближайшего следующего года составит:

    (39,626 + 48,832) = 88,458 тыс. долл. США. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Заключение 

    Любая информация может быть получена на основании прошлого опыта, а именно теории проверенной практикой (научные  факты, методики и  расчеты, опыт каждого  человека).

    Новая информация может быть получена путем  наблюдения, то есть, изучением системы  без вмешательства в её функционирование. Также она может быть получена путем эксперимента, то есть, изучая систему при целенаправленном воздействии  на её параметры.

    Модель  исследуется для того, чтобы можно  было управлять исследуемым объектом или системой, на основании полученной по модели информации. Управление системы  связано с улучшением его характеристик  или её стабилизацией, то есть с возможностью прогнозирования поведения систем. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Список  литературы:

1. И.И. Елисеева, Эконометрика. Москва "Финансы и статистика". 2004 г.
2. Практикум по эконометрике: учебное пособие под ред. И.И. Елисеевой – М. "Финансы и статистика", 2003 г.
3. Доугерти К. Введение в эконометрику. Перевод с англ. – М. ИНФРА – М, 1999 г. – 402с.