Модель Леонтьева "Затраты-выпуск"

Предположим, что  в модели (6.2.1) каждый товар производится с использованием продукций всех отраслей и еще m видов первичных ресурсов. Обозначим через количество k-го первичного фактора, затрачиваемого в производство x_j количества j-го товара, а через - количество k -го первичного фактора, необходимое для производства одной единицы товара вида j . Из определения этих величин следует, что, как и в случае вторичных ресурсов, имеет место выражение .

Таким образом, для каждого товара j мы имеем n+m видов представления его выпускаемого объема:

Поэтому производство во всех n отраслях может быть описано n линейными производственными функциями (см. §4.2)

(здесь для  всех ресурсов вида i и k , участвующих в выпуске товара вида j , предполагаются условия ).

Как следует  из (6.2.10) и (6.2.11) , для любых i и k

Поэтому справедливы  уравнения:

Суммируя обе  части этих уравнений по j, получим выражения, определяющие суммарные по всем отраслям объемы затрат вторичных и первичных факторов производства:

Так как уравнения (6.2.12) относятся к товарам каждой отрасли, используемым как на производственное, так и на конечное потребление, должно быть

или в матричной  форме  .

Введем в рассмотрение матрицу 

трактуемую как  технологическая матрица для  первичных ресурсов, и предположим, что известен вектор запасов всех первичных ресурсов, т.е.

Тогда из (6.2.13) следует условие .

Обозначим через  и векторы цен вторичных и первичных ресурсов соответственно.

Поставим следующий  вопрос: при каком векторе выпуска  реализация конечного продукта приведет к максимальному доходу с учетом наличного запаса первичных ресурсов? В ответ получаем следующую задачу линейного программирования:

Так как по смыслу задачи максимизация дохода осуществляется через вектор выпуска, эту задачу целесообразно переписать, выразив в целевой функции вектор спроса c из уравнения (6.2.1) :

По правилам, приведенным в §2.4 (см. (2.4.2) и (2.4.4)), напишем для (6.2.14)-(6.2.15) двойственную задачу с новой переменной :

Введем изменение  масштаба цен  и запишем двойственные задачи (6.2.14)-(6.2.15) и (6.2.16)-(6.2.17) в более компактном виде:

Решение задачи (6.2.18) дает вектор спроса на товары , а решение задачи (6.2.19) - вектор предложения первичных факторов . Для пары задач (6.2.18) и (6.2.19) и их решений c и v верны все утверждения из §2.4 для двойственных задач линейного программирования.

Согласно общего определения равновесия (см. §5.3), набор будет равновесным в модели Леонтьева, если выполнены соотношения

Благодаря линейности задач (6.2.18) и (6.2.19), такое равновесие существует.

В качестве упражнения читателю предлагается доказать существование  равновесия (6.2.20). Указания: либо показать выполнение условий теоремы Эрроу-Дебре из §5.4; либо доказать напрямую, применяя схему доказательства теоремы Эрроу-Дебре, т.е. подведя к теореме Какутани о неподвижной точке для полунепрерывного сверху отображения множества нормированных цен

в самого себя.