Метод наименьших квадратов и его применение в экономике

.

Оценки коэффициентов а и b нужно сравнить с первоначальными оценками, полученными для расчета отклонений еi Если эти оценки совпадают, то процесс заканчивается; если нет - то при новых значениях а и b вновь рассчитываются отклонения е до тех пор, пока оценки а и b на двух соседних итерациях не совпадут с требуемой точностью.

В случае, когда остатки «также автокоррелированы, авторегрессионное преобразование может быть применено ещё раз. Это означает использование авторегрессионного преобразования более высокого порядка, которое заключается в оценке коэффициентов авторегрессии соответствующего порядка для отклонений е. и использовании их для построения новых переменных. Такое преобразование вместо AR(1) называется AR(s) - если используется авторегрессия порядка s.

О целесообразности применения авторегрессионного преобразования говорит некоррелированность полученных отклонений ui,. Однако даже в этом случае истинной причиной первоначальной автокорреляции остатков может быть нелинейность формулы или неучтенный фактор. Мы же, вместо поиска этой причины, ликвидируем её бросающееся в глаза следствие. В этом - основной недостаток метода AR и содержательное ограничение для его применения.

Кроме авторегрессионного преобразования, для устранения автокорреляции остатков и уточнения формулы регрессионной зависимости может использоваться метод скользящих средних (MovingAve-rages, или МА). В этом случае считается, что отклонения от линии регрессии еi описываются как скользящие средние случайных нормально распределенных ошибок еi предполагается, что

 

(5.1)

 

Это формула для преобразования МА q-го порядка, или MA(q); МА(1), например, имеет вид еi = єi + q1єi-1. Параметры qi, как и в случае авторегрессионного преобразования, могут оцениваться итерационными методами.

Во многих случаях сочетание методов AR и МА позволяет решить проблему автокорреляции остатков даже при небольших s и q. Еще раз повторим, что адекватным такое решение проблемы является лишь в том случае, если автокорреляция остатков имеет собственные внутренние причины, а не вызвана наличием неучтенных (одного или нескольких) факторов.

Методы AR и МА могут использоваться в сочетании с переходом от объемных величин в модели к приростным, для которых статистическая взаимосвязь может быть более точной и явной. Модель, сочетающая все эти подходы, называется моделью/1/?/Л/А (Aiitoreg-- ressive Integrated Moving Averages). В общем виде ее формулу можно записать так:

 

 (5.2)

 

где {rр^} и {q9^} - неизвестные параметры, и е - независимые, одинаково нормально распределенные СВ с нулевым средним. Величины у* представляют собой конечные разности порядка d величин у, а модель обозначается как АRIМА(р,d,q).

 

 

 

 

 

Применение МНК в экономике

 

Торговое предприятие имеет  сеть, состоящую из 12 магазинов, информация о деятельности которых представлена в таблице 1.

Руководство предприятия хотело бы знать, как зависит размер годового товарооборота от торговой площади магазина.

Таблица 1

Номер магазина	Годовой товарооборот, млн. руб.	Торговая площадь, тыс. м2
1	19,76	0,24
2	38,09	0,31
3	40,95	0,55
4	41,08	0,48
5	56,29	0,78
6	68,51	0,98
7	75,01	0,94
8	89,05	1,21
9	91,13	1,29
10	91,26	1,12
11	99,84	1,29
12	108,55	1,49

 

Решение методом наименьших квадратов. Обозначим — годовой товарооборот -го магазина, млн. руб.; — торговая площадь -го магазина, тыс. м².

Рис.1. Диаграмма рассеяния

Для определения формы функциональной зависимости между переменными  и построим диаграмму рассеяния (рис. 1).

На основании диаграммы рассеяния  можно сделать вывод о позитивной зависимости годового товарооборота  от торговой площади (т.е. у будет  расти с ростом ). Наиболее подходящая форма функциональной связи — линейная.

Информация для проведения дальнейших расчетов представлена в таблице 2. С помощью метода наименьших квадратов оценим параметры линейной однофакторной эконометрической модели

Таблица 2

t	yt	x1t	yt2	x1t 2	x1t yt
1	2	3	4	5	6
1	19,76	0,24	390,4576	0,0576	4,7424
2	38,09	0,31	1450,8481	0,0961	11,8079
3	40,95	0,55	1676,9025	0,3025	22,5225
4	41,08	0,48	1687,5664	0,2304	19,7184
5	56,29	0,78	3168,5641	0,6084	43,9062
6	68,51	0,98	4693,6201	0,9604	67,1398
7	75,01	0,94	5626,5001	0,8836	70,5094
8	89,05	1,21	7929,9025	1,4641	107,7505
9	91,13	1,29	8304,6769	1,6641	117,5577
10	91,26	1,12	8328,3876	1,2544	102,2112
11	99,84	1,29	9968,0256	1,6641	128,7936
12	108,55	1,49	11783,1025	2,2201	161,7395
S	819,52	10,68	65008,554	11,4058	858,3991
Среднее	68,29	0,89

 

Таким образом,

Следовательно, при увеличении торговой площади на 1 тыс. м² при прочих равных условиях среднегодовой товарооборот увеличивается на 67,8871 млн. руб.

 

Заключение

 

Информация, представленная в настоящем курсовом проекте, может стать основой для дальнейшей проработки и усовершенствования приведенных статистических методов. По каждому из описанных методов может быть предложена задача построения соответствующих алгоритмов. По разработанным алгоритмам в дальнейшем возможна разработка программных продуктов для практического использования методов в аналитических, исследовательских, коммерческих и других областях.

Наиболее полная информация приведена по применению скользящих средних. В работе описывается лишь малая часть имеющихся в настоящее время методов для исследования и обработки различных видов статистической информации. Здесь представлен краткий и поверхностный обзор некоторых методов, исходя из незначительного объёма настоящей работы.

 

Список литературы

 

1. О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Р.Н. Черемных. Математические методы в экономике. – М.: Дис, 2009.-384 с.
2. Анна Эрлих Технический анализ товарных и финансовых рынков. – М.: ИНФРА, 1996.-169 с.
3. В.С. Пугачёв Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие.- 2-е изд., исправл. и дополн. – М.: Физматлит, 2002. – 496 с.