Математические методы в экономике. Задачи

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа 

Дисциплина: «Математические методы в экономике» 
 
 
 
 
 
 

Выполнила студентка группы 

                                     (Ф.И.О., полностью) 

№ варианта  7            № зачетной книжки______________

Руководитель                             

                                           (Ф.И.О., полностью)

                                         «      »                     2009г.

                                    ____________   _________________

                                      отметка о зачете           подпись преподавателя

                         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  № 1

Предприятие производит два продукта и использует в производстве два ресурса. Технологическая матрица производства, запасы ресурсов и удельные прибыли заданы таблицей. Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль. Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость. 

 

Разобьем решение  задачи на два этапа:

I – Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль.

     II – Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость. 

Этап I. 

Обозначим объем производства 1 продукта – x₁, 2 продукта – x₂. 

Цель задачи – добиться максимального дохода от реализации продукции. Критерием эффективности служит показатель дохода, который должен стремится к максимуму. Чтобы рассчитать величину дохода от продажи продуктов 1 и 2, необходимо знать объемы производства продуктов и цены за единицу измерения объемов.

Общая прибыль предприятия может быть описана целевой функцией L(X): сумма доходов от продажи продуктов 1 и 2 (при допущении независимости объемов сбыта каждого из продуктов):

L(X) = 21*x₁ + 14*x₂  ->  max  

Возможные объемы производства продуктов x₁ и x₂ ограничиваются следующими условиями:

• Расход ресурсов 1 и 2:

1 ресурс: 14*x₁ + 35*x₂ <= 70

2 ресурс: 42*x₁ + 21*x₂ <= 84

• Выпуск продуктов не должен быть отрицательным:

x₁ >= 0 и x₂ >= 0 

Рассмотрим предельные варианты производства продуктов 1 и 2:

1 ресурс:

14*x₁ + 35*x₂ = 70

x₁ = 0:  14*0 + 35*x₂ =70; x₂ = 70/35 = 2, обозначим как точка A [0;2].

x₂ = 0:  14*x₁ + 35*0 = 70; x₁ = 70/14 = 5, обозначим как точка B [5;0].

2 ресурс:

42*x₁ + 21*x₂ = 84

x₁ = 0:  42*0 + 21*x₂ = 84; x₂ = 84/21 = 4, обозначим как точка C [0;4].

x₂ = 0:  42*x₁ + 21*0 = 84; x₁ = 84/42 = 2, обозначим как точка D [2;0]. 

Построим множество  допустимых планов производства двух продуктов x₁ и x₂, для этого построим графики использования ресурсов 1 и 2:

Точку начала координат  обозначим O [0;0].

Точку пересечения двух графиков обозначим E.

Фигуры OAB и OCD представляют собой множество возможностей использования ресурсов 1 и 2 соответственно.

Фигура OAED в данном случае будет являться множеством допустимых планов производства двух продуктов x₁ и x₂.

Точка E (точка максимума) характеризует наиболее полное использование ресурсов 1 и 2 при производстве продуктов x₁ и x₂. Найдем ее, решив систему уравнений:

14*x₁ + 35*x₂ = 70

42*x₁ + 21*x₂ = 84

1. Выразим x₁ в зависимости от x₂ из первого уравнения:

x₁ = (70 – 35*x₂)/14

2. Подставим полученный результат x₁ во второе уравнение и найдем x₂:

42*(70 – 35*x₂)/14 + 21*x₂ = 84

210 – 105*x₂ + 21*x₂ = 84

84*x₂ = 126

x₂ = 1,5

3. Вычислим x₁:

x₁ = (70 – 35*1,5)/14 = 1,25

Точка E имеет координаты [1,25;1,5]. 

L_уровня (X) = 21*x₁ + 14*x₂ = 29,4

x₁ = 0:  21*0 + 14*x₂ =29,4; x₂ = 29,4/14 = 2,1.

x₂ = 0:  21*x₁ + 14*0 = 29,4; x₁ = 29,4/21 = 1,4. 

Тогда оптимальный  план производства будет:

x₁ = 1,25 и x₂ = 1,5

Отсюда максимальная прибыль предприятия:

L_max(X) = 21*x₁ + 14*x₂ = 21*1,25 + 14*1,5 = 26,25 + 21 = 47,25 рублей. 

Этап II. 

Обозначим затраты на 1 ресурс – y₁, 2 ресурс – y₂. 

Цель задачи – добиться минимальных затрат на ресурсы при производстве продуктов. Критерием эффективности служит показатель затрат на приобретение ресурсов, который должен стремится к минимуму. Чтобы рассчитать стоимость ресурсов 1 и 2, необходимо знать количество используемых ресурсов на производство продуктов и себестоимость готовых продуктов.

Общая затраты предприятия могут быть описаны целевой функцией L(Y): сумма затрат на приобретение ресурсов 1 и 2 (при допущении независимости объемов приобретения каждого из ресурсов):

L(Y) = 70*y₁ + 84*y₂  ->  min  

Допустим, что  прибыль от продажи, приведенная  в условиях задачи, является себестоимостью продуктов 1 и 2. Цена не может опускаться ниже себестоимости, так иначе производство будет убыточным. Себестоимость в свою очередь зависит от цен на ресурсы. Возможные варианты затрат на ресурсы y₁ и y₂ ограничиваются следующими условиями:

• Стоимость продуктов 1 и 2:

1 продукт: 14*y₁ + 42*y₂ >= 21

2 продукт: 35*y₁ + 21*y₂ >= 14

• Цена не может быть отрицательной:

y₁ >= 0 и y₂ >= 0 

Рассмотрим предельные варианты затрат на ресурсы 1 и 2:

1 продукт:

14*y₁ + 42*y₂ = 21

y₁ = 0:  14*0 + 42*y₂ =21; y₂ = 21/42 = ½ = 0,5, обозначим как точка A [0;0,5].

y₂ = 0:  14*y₁ + 42*0 = 21; y₁ = 21/14 = 3/2 = 1,5, обозначим как точка B [1,5;0].

2 продукт:

35*y₁ + 21*y₂ = 14

y₁ = 0:  35*0 + 21*y₂ = 14; y₂ = 14/21 = 2/3 = 0,67, обозначим как точка C [0;0,67].

y₂ = 0:  35*y₁ + 21*0 = 14; y₁ = 14/35 = 2/5 = 0,4, обозначим как точка D [0,4;0]. 

Построим множество  значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат на ресурсы y₁ и y₂, для этого построим графики затрат на ресурсы 1 и 2:

Точки [0;+∞] и [+∞;0] обозначим E и F соответственно.

Точку пересечения  двух графиков обозначим G.

Фигуры EABF и ECDF представляют собой множество значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 соответственно.

Фигура ECGBF в данном случае будет являться совокупным множеством допустимых значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат y₁ и y₂.

Точка G (точка минимума) характеризует наименьшие возможные затраты y₁ и y₂ при производстве продуктов 1 и 2. Найдем ее, решив систему уравнений:

14*y₁ + 42*y₂ = 21

35*y₁ + 21*y₂ = 14

1. Выразим y₂ в зависимости от y₁ из первого уравнения:

y₂ = (21 – 14*y₁)/42

2. Подставим полученный результат y₁ во второе уравнение и найдем y₂:

35*y₁ + 21*(21 – 14*y₁)/42 = 14

35*y₁ – 7*y₁ + 10,5 = 14

28*y₁ = 3,5

y₁ = 0,125

3. Вычислим x₁:

y₂ = (21 – 14*0,125)/42 = 0,458

Точка G имеет координаты [0,125; 0,458]. 

L_уровня (Y) = 70* y ₁ + 84* y ₂ = 58,8

y₁ = 0:  70*0 + 84*y₂ =58,8; y₂ = 58,8/84 = 0,7.

y₂ = 0:  70*y₁ + 84*0 = 58,8; y₁ = 58,8/70 = 0,84. 

Тогда минимальные затраты на ресурсы 1 и 2 при заданной себестоимости будут:

y₁ = 0,125 и y₂ = 0,458

Отсюда минимальные затраты на ресурсы при производстве продуктов 1 и 2:

L_min(Y) = 70*y₁ + 84*y₂ = 70*0,125 + 84*0,458 = 8,75 + 38,472 = 47,222 рублей. 

Ответ:

     Этап I: Множество допустимых планов производства – фигура OAED из графика, оптимальный план производства 1,25 единиц первого продукта за цикл и 1,5 единицы второго продукта за цикл, соответствующая ему прибыль составит 47,25 рублей.

     Этап II: Двойственные оценки ресурсов –  фигура ECGBF из графика, минимальная себестоимость первого продукта  0,125 рубля и второго продукта 0,458 рубля, соответствующие им затраты составят 47,222 рублей. 

Задача  № 2

Предприятие производит два продукта и использует в производстве два ресурса. Технологическая  матрица производства, запасы ресурсов и удельные прибыли заданы таблицей. Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль. Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость.