Математическая теория динамического равновесия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кемеровский Государственный Университет

Математический факультет

РЕФЕРАТ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО

РАВНОВЕСИЯ

Выполнила студентка

Проверил:

Кемерово 2011

Оглавление

Введение

Понятие динамического равновесия в экономике. Простейшая модель равновесия

Модели макроэкономической динамики

Заключение

Список используемой интернет-литературы

Введение

В рамках математического моделирования экономических систем рассматриваются взаимозависимости элементов данных систем, что предполагает определение минимально достаточного количества и содержания этих элементов. Основой данного определения является состояние равновесия экономических систем, которое находит отражение в различных моделях такого состояния.

В настоящее время существует много классификаций моделей, используемых для иллюстраций основных идей и теорий. Динамические модели очень сложны для изучения, а как результат в учебниках рассматриваются лишь статичные модели, в числе которых очень редко можно обнаружить те, в которых динамика обеспечивается лишь последовательным введением статичных моментов. Для изложения динамики процессов экономики в модель следует вводить новые параметры, которые будут ее усложнять, но одновременно и делать модель более реалистичной. Именно включение динамических процессов, более соответствующих реальности и реалиям экономики, позволяет сделать определенные выводы по существующим в курсе экономической теории моделям.

Однако, теория общего экономического равновесия, доминирующая в настоящее время, как в науке, так и в экономическом образовании, не вполне согласуется с реальностью, как представляется, в ее классическом варианте. Существуют и другие области, где данная теория не обеспечивает адекватного методологического подхода к исследованию процессов и объектов.

Понятие динамического равновесия в экономике. Простейшая модель равновесия

В экономической теории важным является понятие равновесия, то есть такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Задачи экономической динамики включают как описание процессов выхода к состоянию равновесия, так и процессов трансформации самого этого состояния под воздействием внешних сил.

Рассмотрим простую экономическую систему в состоянии равновесия и опишем движение такой системы в непрерывном и дискретном случаях. В первом случае динамика системы описывается с помощью дифференциального уравнения, во втором — разностного уравнения.

Дифференциальное уравнение связывает изменения показателя х со скоростью его движения х или х Будем считать, что скорость изменения показателя х пропорциональна величине его отклонения от равновесного значения хе. Иными словами, чем дальше показатель отклонился от равновесного значения, тем быстрее он стремится вернуться к нему.

Если в уравнении присутствует только первая производная х по времени, а сама связь линейна, то это линейное дифференциальное уравнение. Пусть оно имеет, например, следующий вид:

ẋ=k(x- хе)                                                                                    (1)

где k — коэффициент. В этом уравнении kxe — свободный член; без него уравнение x=kx называется однородным и его общее решение х=сеkt. Исходное неоднородное уравнение имеет частное решение х = хe (если величина х находится в состоянии равновесия), а общее его решение есть сумма любого частного решения и общего решения однородного уравнения, т.е. х = Xe + сеkt.

Учитывая, что при t=0 величина х равна х(0), получаем с=х(0)-хe, x(t)= х+(х(о)- xe)ekt. Если k<0, то еkt  0 и равновесие устойчиво, то есть при отклонении величины х(t) от значения хe она вновь стремится принять это значение.

При k > 0 величина еkt —> и, соответственно, х(t) стремится к бесконечности (если начальное состояние не совпадает с состоянием равновесия).

Система приходит к состоянию хe различными способами: как это показано на рисунке 1; на рисунке 2 (при к > 0) или на рисунках 3, 4.

Поведение в дискретном времени может быть описано с помощью разностного уравнения, связывающего величины х в соседние моменты времени, то есть xtи хt-1.

Например, в дискретной ситуации, аналогичной уже описанной, может использоваться разностное   уравнение  хt = хt-1 + k(xt-1 – хe), решением которого является х = хe + (х(0)— Xe) (1 + r)t . Это решение может быть найдено (аналогично непрерывному случаю) как сумма общего решения  xt = c(l + k)t  для однородного уравнения xt=(l+k)xt-1 и частного решения xt = xe для исходного разностного уравнения; с учетом хt = х(о) при t = 0. При k < 0 система в случае отклонения от xe будет двигаться в направлении xe, при k > 0 уходить еще дальше от него. Равновесие устойчиво при -2 < k < 0 и неустойчиво при k > 0 или k < -2 (при k < -1 показатель х каждый раз «перескакивает» равновесное значение х, причем при k < -2 — слишком далеко, чтобы приблизиться в конце концов к х).

Нужно отметить, что математическое моделирование предполагает определение элементов, составляющих модель, с целью их введения в конкретную модель экономического равновесия. Причем под экономическим равновесием понимается такое состояние системы, которое характеризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов, где элементы модели должны совпадать с элементами экономического равновесия.

В целом, в рамках моделирования экономических систем рассматривается вопрос — насколько точно модель экономической динамики отражает процессы, реально происходящие в экономике. Достоверность отражения моделью реальных экономических процессов основывается на практической оценке сопоставления реальности и модели экономической динамики.

Существуют два вида моделей макроэкономической динамики, реализующих дискретный и непрерывный подходы. В обоих случаях модели носят весьма общий, абстрактный характер. В то же время решение может быть найдено в явном виде, причем из него вытекают важные особенности для различных частных случаев соотношения параметров. На этих моделях удобно продемонстрировать простейший аппарат дискретного и непрерывного динамического моделирования, проиллюстрировать важнейшие категории и проблемы макроэкономической динамики.

Модели макроэкономической динамики

Паутинообразная модель. Эта модель позволяет исследовать устойчивость цен и объемов товаров на рынке, описываемом традиционными кривыми спроса и предложения (рис. 5) при наличии запаздывания во времени (лага).

Модель Харрода-Домара. В качестве примера модели с непрерывным временем рассмотрим модель макроэкономической динамики (простейший ее вариант — модель Харрода-Домара). Модель описывает динамику дохода У(t), который рассматривается как сумма потребления C(t) и инвестиций I(t). Экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы в модели не выделяются. Основная предпосылка модели роста — формула взаимосвязи между инвестициями и скоростью роста дохода. Предполагается, что скорость роста дохода пропорциональна инвестициям:

                                                        (2)

где В — коэффициент капиталоемкости прироста дохода, или приростной капиталоемкости (соответственно, обратная ему величина 1/B называется приростной капиталоотдачей). Тем самым, в модель фактически включаются следующие предпосылки:

- инвестиционный лаг равен нулю: инвестиции мгновенно переходят в прирост капитала. Формально это означает, что ΔK(t)=I(t) где K(t) — непрерывная функция прироста капитала во времени;

- выбытие капитала отсутствует;

- производственная функция в модели линейна; это вытекает из пропорциональности прироста дохода приросту капитала:

                                                                                    (3)

Линейная производственная функция Y(t)=aL(t)+bK(f)+c, где b = 1/B обладает этим свойством в том случае, если либо а = 0, либо L(t) = const. Тем самым следующие предпосылки таковы:

- затраты труда постоянны во времени, либо выпуск не зависит от затрат труда, поскольку труд не является дефицитным ресурсом;

- модель не учитывает технического прогресса.

Перечисленные предпосылки, конечно, существенно огрубляют описание динамики реальных макроэкономических процессов, делают затруднительным применение данной модели, например, для непосредственного расчета или прогноза величины совокупного выпуска или дохода. Однако данная модель и не предназначена для этого; в то же время ее относительная простота позволяет более глубоко изучить взаимосвязь динамики инвестиций и роста выпуска, получить точные формулы траекторий рассматриваемых параметров при сделанных предпосылках.

Зависимость, связывающая между собой во времени показатели инвестиций, определяемый ими объем основного капитала и уровень выпуска (дохода), является базовой во всех моделях макроэкономической динамики. Кроме того, в этих моделях необходимо определить принципы формирования структуры выпуска (дохода), распределения его между составляющими, прежде всего — между потреблением и накоплением. Эти принципы могут основываться на оптимизационном подходе (обычно это максимизация совокупных объемов потребления в той или иной форме), экстраполяционном, равновесном и других. В рассматриваемой модели предполагается, что динамика объема потребления C(t) задается экзогенно. Этот показатель может считаться постоянным во времени, расти с заданным постоянным темпом или иметь какую-либо другую динамику.

Простейший вариант модели получается, если считать C(t)= 0. Этот случай совершенно нереалистичен с практической точки зрения, однако в нем все ресурсы направляются на инвестиции, в результате чего могут быть определены максимальные технически возможные темпы роста. В этом случае получаем:

                                                        (4)

Это — линейное однородное дифференциальное уравнение, его решение имеет вид Y(t) = Y(0)е (что легко проверить дифференцированием). Непрерывный темп прироста здесь равен 1/B. Это максимально возможный (технологический) темп прироста.

Модель Солоу. Другой тип модели экономического роста представляет модель, предложенная лауреатом Нобелевской премии Р.Солоу. По сравнению с уже рассмотренной моделью роста модель Солоу позволяет более точно описать некоторые особенности макроэкономических процессов. Во-первых, производственная функция в этой модели нелинейна и обладает свойством убывания предельной производительности. Во-вторых, модель учитывает выбытие основного капитала. В-третьих, в модель Солоу включается описание динамики трудовых ресурсов и технического прогресса и их влияние на экономический рост. В-четвертых, здесь ставится и решается задача максимизации уровня потребления на некотором множестве устойчивых траекторий. Это усложняет структуру модели и получение точных формул для траекторий изменения основных ее показателей становится существенно более сложной задачей. Поэтому некоторые другие аспекты описываются в базовой модели Солоу упрощенно: например, считаются постоянными норма сбережений и норма выбытия капитала, инвестиционные лаги отсутствуют, а производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба. Кроме того, на начальном уровне анализа модели ищутся не траектории изменения всех ее показателей (как в модели Харрода-Домара), а характеристики состояний устойчивого равновесия, к которым система выходит в долгосрочном периоде. С формальной точки зрения это представляет собой существенно более простую задачу.

Предпосылки и обозначения модели Солоу. Производственная функция имеет вид Y =F(K,L) (Y — выпуск или доход, К — капитал, L — труд). Отдача от масштаба постоянна: F(ξK, ξL) =ξF(К, L). Предельная производительность факторов положительна, но убывает:

Y>0; Y>0; Y<0; Y<0.

Величина выбытия капитала W пропорциональна его величине К :

W=δK,                                                                                    (5)

Где δ — норма выбытия;

Норма сбережений (инвестиций) а постоянна, и инвестиции I равны αY. Доход распределяется на потребление и инвестиции: Y = С +1.

Численность занятых L растет с постоянным темпом n.

Трудосберегающий технический прогресс имеет темп g, то есть число единиц труда с постоянной эффективностью в расчете на одного работающего растет с темпом g.

При сделанных предпосылках производственную функцию У можно рассматривать Y как зависимость производительности труда у=Y/L от его капиталовооруженности k=K/L; y=f(k) (здесь L — число единиц труда с постоянной эффективностью, (т.е. численность занятых при отсутствии трудосберегающего технического прогресса, либо численность условных работников с одинаковой эффективностью при его наличии). Это вытекает из того, что Y= F(K, L)== LF = LF(k). Инвестиции приводят к росту капиталовооруженности, а выбытие капитала, рост численности работающих и числа единиц труда с постоянной эффективностью — к ее снижению. Прирост капиталовооруженности k в результате инвестиций равен i=1/L. Темп снижения капиталовооруженности за счет остальных факторов равен [δ + n + g) (в точности равен, если Y, K, L — непрерывные функции времени, и приближенно равен в дискретном случае при малых (δ, n, g). Величина снижения капиталовооруженности за счет этих факторов равна (δ + n + g)k.

Величина k находится в состоянии устойчивого равновесия, если ее прирост за счет инвестиций равен ее уменьшению за счет других факторов. Поскольку Y=C+I, после деления этого тождества на L имеем y = c + i, где у — доход, с — потребление, a i — инвестиции на одну единицу труда с постоянной эффективностью. Следовательно, величина I равна аf(k) Условие стабильности показателя k, таким образом, записывается как

                                                                                    (6)

и величина k* называется устойчивым уровнем капиталовооруженности.

Заключение

Таким образом, общий алгоритм математического моделирования предусматривает возможность включения дополнительного элемента в модель. Необходимо учитывать, что экономика находится в процессе постоянного развития, и модель должна отражать потенциальные возможности этого развития. При этом открываются возможности более глубокого понимания экономических процессов и получения объективных знаний об их динамике.