(11)

  Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей  считается стратегия  , показатель эффективности которой, вычисляемый по формуле (11), максимален, т.е. .

  Очевидно, что критерий Лапласа относительно выигрышей есть частный случай критерия Байеса относительно выигрышей при  . Поэтому все утверждения, доказанные о критерии Байеса относительно выигрышей, остаются в силе и для критерия Лапласа относительно выигрышей.

  Подставляя (11) в (7), получим показатель эффективности смешанной стратегии по критерию Лапласа относительно выигрышей:

        (12)

  Стратегия будет оптимальной среди всех смешанных стратегий множества по критерию Лапласа относительно выигрышей, если она максимизирует показатель эффективности (12).

  Теорема 1 при  означает, что оптимальная среди чистых стратегия по критерию Лапласа относительно выигрышей является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий.

  Так как  не зависит от номера i, то в качестве показателя эффективности стратегии можно вместо величины (11) рассмотреть правую часть равенства (11) без множителя и, следовательно, оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей можно считать стратегию , для которой показатель эффективности максимален:

.                                                                                            (13)

  Аналогичное замечание относится и к равенству (12), правую часть которого можно рассматривать без множителя , поскольку он не зависит от смешанной стратегии Р.

  Практическая часть

  Руководство универмага заказывает товар определенного  вида. Известно, что спрос на товар  данного вида лежит в пределах от 6 до 9 единиц. В случае, если заказанного  товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то имеется возможность срочно заказать и завезти недостающее количество. Если же спрос будет меньше наличного количества товара, то нереализованный товар придется хранить на складе универмага. Вероятности состояний природы известны и равны:

  Игроками  в задаче являются, с одной стороны, игрок А – руководство универмага, которому предстоит выбрать одну из стратегий, т.е. заказать такой объем i (i=1,2,3,4) товара данного вида, который  минимизирует дополнительные затраты, с другой, - спрос объемом j (j=1,2,3,4), т.е. объективная реальность (игрок П), не преследующая никаких интересов.

  Итак, стратегия А1 означает, что магазин  заказал 6 единиц товара; А2 – заказано 7 единиц; А3 – 8 единиц и А4 –9 единиц. Стратегии игрока П означают, что спрос на товар составил соответственно 6, 7, 8 или 9 единиц.

  1) Критерий Байеса относительно  выигрышей

  Запишем платежную матрицу игры и для  удобства добавим в нее строку вероятностей состояний природы  и столбец показателей эффективности  стратегий игрока А,  т.е. средних  выигрышей, вычисленных по формуле : 

                                        A=

  Из  последнего столбца матрицы видно, что стратегия А4 имеет наибольший показатель эффективности  и, следовательно, по критерию Байеса относительно выигрышей, она является оптимальной.

В данном случае вероятности состояний природы  неизвестны, так что будем предполагать, что все четыре возможные состояния  природы равновероятны.

Подсчитаем  показатели эффективности стратегий по формуле без множителя в правой части.

                                              A= 
 

  Из  последнего столбца матрицы видно, что стратегия А₃ имеет наибольший показатель эффективности и, следовательно, по критерию Лапласа относительно выигрышей, она является оптимальной, т.е. оптимальным считается заказать 8 единиц товара с целью минимизировать издержки.

Заключение

     Критерии  Байеса и Лапласа являются одними из наиболее простых и эффективных способов оценки выигрышей при играх с природой. Критерии охватывают как возможность того, что значения вероятностей, в которых находится Природа, нам известны, так и вариант того, что эти вероятности нельзя определить в конкретных цифрах.

     Критерии  носят достаточный характер субъективизма, потому как вероятность Природы  определяется конкретно каждым человеком в отдельности, а если вероятности неизвестны, то их считают условно равными друг другу, что является субъективной оценкой каждого экономического субъекта.

Список используемой литературы

1. Экономико-математическое моделирование: Учебник для студентов вузов / Под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Издательство «Экзамен», 2004. – 800 с.
2. Невежин В.П., Кружилов С.И. Сборник задач по курсу «Экономико-математическое моделирование». – М.: ОАО «Издательский Дом «Городец», 2005. – 320 с.