Косвенный метод наименьших квадратов

Косвенный метод  наименьших квадратов

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК). 

     Для нахождения параметров системы одновременных  уравнений

   (1)

как уже  отмечалось ранее, МНК напрямую не применим. Его можно использовать только в  случае, когда система одновременных уравнений является системой независимых уравнений, т.е. имеет вид:

                                                      (2)

      Для других случаев используются различные  модификации этого метода.

     Если система (1) точно идентифицируемая, т.е. когда каждое уравнение этой системы точно идентифицируемо, используется так называемый косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).

      Суть  КМНК состоит в следующем:

1. Структурная форма модели  (1) преобразуется в приведенную форму модели.

                                                      (3)

2. Коэффициенты этой системы находятся обычным МНК, примененным к каждому уравнению в отдельности.
3. Найденные оценки коэффициентов приведенной формы модели трансформируются в параметры и структурной формы модели.

     В силу того, что исходная система  предполагается точно идентифицируемой, то количество уравнений, выражающих связь между коэффициентами приведенной формы модели и коэффициентами , структурной формы модели, совпадает с числом определяемых коэффициентов исходной модели. И потому возможно их однозначное определение посредствам решения этой системы уравнений. Либо применяют алгебраические методы преобразования уравнений приведенной системы уравнений (3) к виду уравнений системы (1).

     Рассмотрим  это на примере. Пусть дана эконометрическая модель с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными.

                                                                    (4)

     Проверка  необходимым и достаточным признаками идентифицируемости этой системы показывает, что она точно идентифицируема.

     Пусть статистическая информация по переменным содержится в следующей таблице:

     Очевидно, что приведенная форма  модели имеет вид:

                                                                         (5)

     Для упрощения расчетов перейдем в приведенной  форме модели к центрированным переменным. Для этого определяются средние  величины исходных переменных: Таблица данных для новых переменных ,  ,  , выглядит следующим образом:

     МНК оцениваем параметры первого  уравнения приведенной  системы  из следующей системы:

                                                                               (6)

     Получаем  первое уравнение приведенной системы  уравнений:

                                                                        (7)

     Аналогично  получаем второе уравнение приведенной системы уравнений.

                                                                   (8)

     Вернемся  к старым переменным в приведенной  системе уравнений. 

                                       (9)

     После простейших преобразований приведенная  система уравнений принимает  вид:

                                                   (10)

     В первом уравнении структурной формы  модели отсутствует переменная . Выразим эту переменную из второго уравнения приведенной формы модели и подставим в первое уравнение приведенной системы уравнений, пренебрегая вероятностной составляющей, и мы получим первое уравнение структурной системы.

     

     Во  втором уравнении структурной формы модели отсутствует переменная ,  поэтому выразим ее из первого уравнения приведенной формы модели и подставим во второе уравнение, также пренебрегая вероятностной составляющей в этих уравнениях, и тем самым получим второе уравнение структурной формы модели.

     

     Окончательно  делаем вывод, что структурная форма  модели имеет вид:

                                                      (11) 

     Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДШМНК).

     Если  система одновременных уравнений  является сверхидентифицируемой, то  КМНК не дает однозначных оценок параметров структурной формы модели. В этом случае применяются другие методы определения  параметров структурной формы модели, среди них наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов (ДШМНК).

     Основная  идея этого метода состоит в том, что на первом этапе по МНК оцениваются  параметры приведенной формы  модели. Затем на основе приведенной формы модели получаются теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части сверхидентифицируемых уравнений структурной формы модели. После этого МНК применяется во второй раз для определения параметров сверхидентифицируемых уравнений, в которых эндогенные переменные, содержащиеся в правой части уравнения заменяются вычисленными, теоретическими значениями и играющими роль экзогенных переменных.

     Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

1. все уравнения системы сверхидентифицируемы;
2. система содержит наряду со сверхидентифицируемыми уравнениями и точно идентифицируемые уравнения.

     В первом случае оценки структурных коэффициентов  всех  уравнений системы используется ДМНК. Во втором случае для точно  идентифицируемых уравнений коэффициенты находятся по КМНК из приведенной системы уравнений, как было описано выше. Для определения параметров сверхидентифицируемых уравнений уже используется ДМНК.

     Применим  ДМНК к сверхидентифицируемой модели:

                                                                   (12)

     Второе  уравнение этой системы совпадает  со вторым уравнением системы (4), а первое является модифицированным первым уравнением системы (4) при условии, что  . Исходные данные оставим прежними.

     В системе (12) первое уравнение является сверхидентифицируемым, а второе является точно идентифицируемым. Поэтому, система  является сверхидентифицируемой.

     Приведенная система уравнений для системы (12) остается прежней вида (5)  , как  для системы (4). Поэтому воспользуемся уже полученными данными по приведенной системе (10). Так как второе уравнение структурной модели (12) совпадает со вторым уравнением структурной модели (4), то и его окончательный вид остается неизменным, т.е. имеет вид

                                                             (13)

     На  основании второго уравнения  приведенной системы уравнений 

                                                           (14)

вычисляем теоретические значения эндогенной переменной . Затем подсчитываются значения новой переменной . Полученные данные сведем в таблицу. 

 

      Из  седьмого столбца  имеем  , что позволяет заполнить последний столбец таблицы.

     Теперь  МНК находим параметр из первого уравнения приведенной формы модели:

                                                                                                 (15)

     То  есть, решаем следующее уравнение

                                                                               (16)

     После этого осуществляем переход к  исходным переменным и получаем окончательный вид стандартной модели: