Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

      Задание 5 

      Предприятие может работать по пяти технологическим  процессам (Т1, Т2, Т3, Т4, Т5), выпуская количество продукции за единицу времени  соответственно 60, 120, 25, 35, 30. Составить программу максимального выпуска продукции при условии, что известны количество сырья, расход электроэнергии, заработная плата и накладные расходы при изготовлении продукции в единицу времени по заданным технологиям.

 

      Решение.

      Составим  математическую модель задачи линейного  программирования.

      Необходимо  найти максимум функции

      

      при следующих ограничениях:

        

      Задание 15 

      Нужно распилить большое число бревен длиной 10 м. на бруски размерами 2, 3, 4 м., количество которых, в зависимости  от размеров, должны быть в отношении 5 : 6 : 3. Найти план распила с минимальным  числом отходов. 

      Решение.

      Определим все возможные способы распила  бревен, указав, сколько соответствующих  брусьев при этом получается.

 

      Составим  математическую модель задачи линейного  программирования, приняв, что всего поступает на распил а бревен:

      Введем  переменную х – число комплектов, тогда целевая функция будет иметь вид:

      

      при условиях, что все бревна должны быть распилены, т.е.

       ,

      число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности

      

      Из  последнего равенства, определив  и исключив х из остальных выражений, придем к следующей задаче, состоящей в максимизации функции при ограничениях: 

      

        
 

      Задание 25

      Фирма имеет 3 шахты. Пусть ai – суточная добыча угля в i-й шахте; ti – затраты на добычу 1 тонны в i-й шахте в сутки. По контракту фирма должна поставлять bi тонн угля в сутки j-му потребителю, ; штраф за недопоставку составляет ki за тонну. Доставка угля производится в вагонах. Вместимость вагона 30 тонн, затраты на аренду вагона – 10 руб. на 1 км и не зависят от степени загруженности вагона. Расстояния между шахтами и потребителями cij даны в таблице. Составить план добычи и доставки угля, чтобы общие затраты были минимальными.

      а1 = 90; а2 = 120; а3 = 180;

      t1 = 600; t2 = 500; t3 = 400;

      b1 = 120; b2 = 180; b3 = 150;

      k1 = 100; k2 = 150; k3 = 150.

        

      Решение.

      Суточная  производительность трех шахт:

      

      Суточная потребность заказчиков:

      

       , т.е. потребности превышают возможности. 

      Недопоставка  составляет 60 тонн.

      Полные  затраты складываются из затрат на производство, затрат на перевозку  и штрафов.

      Определим затраты на перевозку 1 тонны угля из i-й шахты j-му потребителю:

       .

      Следовательно, затраты на перевозку всего угля будут равны

       , где xij – количество угля в поставке одной шахты одному потребителю.

      Затраты на производство 1 тонны угля , затраты на производство всего угля равны .

      Штраф за недопоставку одному потребителю  будет равен: , где - количество угля, фактически поставленное данному потребителю.

      Найдем  коэффициенты матрицы затрат:

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      Построим транспортную модель, позволяющую найти программу производства и доставки с минимальными затратами:

 

     Задание 35

     Пользуясь методом Жордана-Гаусса, решить систему  линейных уравнений; провести проверку полученного решения:

     

     Первое  уравнение системы:

     умножаем  на 2 и складываем со вторым;

     умножаем  на (-2) и складываем с третьим;

     умножаем на (-3) и складываем с четвертым.

     Получаем:

     

     Второе  уравнение системы умножаем на (1).

     Затем:

     Складываем с первым;

     Умножаем  на (-1) и складываем с третьим;

     Умножаем  на 2 и складываем с четвертым.

     Получаем:

     

     Третье  уравнение системы:

     Умножаем  на (-2) и складываем с первым;

     Умножаем на (-1) и складываем со вторым;

     Умножаем  на (-2) и складываем с четвертым.

     Получим:

     

     Отсюда:

     х₁ = 2

     х₂ = 5

     х₃ = 3

     х₄ = -5

     Проверим  решение методом подстановки:

     

     Система уравнений решена верно. 

     Задание 55

     Построить на плоскости область решений  системы линейных неравенств и геометрически  найти наименьшее и наибольшее значения линейных функций:

     

       

     Решение.

     Сначала определим многоугольник решений. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств и найдем соответствующие прямые:

     

     Строим  эти прямые: