Задание 1

1. а)  Рассчитаем параметры линейной регрессии = a + bx

Параметры a и b найдем из нормальной системы уравнений:

Заполним  расчетную таблицу:

 

 

= 1,2717

= 77,1429 – 1,2717∙62,2857 = -2,0630

Тогда уравнение   регрессионной модели имеет вид  =  -2,0630 + 1,2717х

При увеличении объема капиталовложений на 1 млн. руб. выпуск продукции увеличивается на 1,2717 млн. руб. 

б) Рассчитаем параметры степенной регрессии  = a×x ^b

Параметры a и b найдем из нормальной системы уравнений:

где X = lnx, Y = lny, A = lna

Заполним  расчетную таблицу:

 

 

= 1,0398

= 4,3365 – 1,0398∙4,1235 = 0,0488;  a = 1,0500

Тогда уравнение   регрессионной модели имеет вид  =  1,0500х ^1,0398

При увеличении объема капиталовложений на 1% выпуск продукции увеличивается на 1,0398%. 

в) Рассчитаем параметры показательной регрессии вида = a×b^x

Параметры a и b найдем из нормальной системы уравнений:

где A = lna, B = lnb,  Y = lny

Заполним  расчетную таблицу:

 

 

= 0,01689;    b = 1,0170

= 4,3365 – 0,01689∙62,2857 = 3,2843;    а = 26,6896

Тогда уравнение   регрессионной модели имеет вид  =  26,6896∙1,0170^x

При увеличении объема капиталовложений на 1 млн. руб. выпуск продукции увеличивается в 1,0170 раз. 

б) Рассчитаем параметры  гиперболической регрессии 

Параметры a и b найдем из нормальной системы уравнений:

где X =

Заполним  расчетную таблицу:

 

= -4702,0135

= 77,1429 + 4702,0135∙0,016324 = 153,8965

Тогда уравнение   регрессионной модели имеет вид 

При неограниченном увеличении объема капиталовложений выпуск продукции не будет превышать 153,8965 млн. руб. 

 

  = 42392 – 7∙77,1429² = 734,4286

= 27593 – 7∙62,2857² = 435,4286 

2. Для каждой построенной модели вычислим коэффициент корреляции r, среднюю относительную ошибку А, коэффициенты детерминации R² и наблюдаемое значение F – критерия Фишера по формулам:

R² = r²

а) по уравнению  линейной регрессии

∙0,1430 = 2,04%

R² = 0,9789² = 0,9582

= 114,5881

б) по уравнению  степенной регрессии

∙0,1393 = 1,99%

R² = 0,9786² = 0,9576

= 113,0611

в) по уравнению  показательной регрессии

∙0,1675 = 2,39%

R² = 0,9729² = 0,9465

= 88,4956

г) по уравнению гиперболической регрессии

∙0,1567 = 2,24%

R² = 0,9799² = 0,9601

= 120,3753

3. Составим  сводную таблицу вычислений:

 

Лучшей  является гиперболическая модель регрессии .

При неограниченном увеличении объема капиталовложений выпуск продукции не будет превышать 153,8965 млн. руб.

Зависимость между объемом капиталовложений  и выпуском продукции сильная.

96,01% вариации выпуска продукции объясняется вариацией объема капиталовложений.

По таблице  находим для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы  f₁ = 1 и    f₂ = 5   F_т = 6,61

Т.к. F_н > F_т, то уравнение регрессии может быть признано статистически надежным и пригодным для прогноза с вероятностью 0,95. 

4. Прогнозное  значение объема капиталовложений  составит:

х_р = 62,2857∙1,10 = 68,5143 млн. руб.

Тогда прогнозное значение выпуска продукции составит:

y_р =

= 85,2683 млн. руб.

Ошибка  прогноза составит:

 млн. руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

D = t_табл × m_yp = 2,5706∙2,6872 = 6,9076 млн. руб.

Доверительный интервал прогноза:

(85,2683 – 6,9076;  85,2683 + 6,9076)

(78,3607;  92,1759)

Т. о., при величине капиталовложений 68,5143 млн. руб. с вероятностью 95% можно ожидать, что величина выпуска продукции составит от 78,3607 млн. руб. до 92,1759 млн. руб. 
 

Задание 2

1. Рассчитаем  парные коэффициенты корреляции

= 0,6074

= 0,6047

= -0,5533

= 0,9229

= -0,6446

= -0,7045

Для построения двухфакторной модели выбираем переменные Х₁ и Х₃, так как для этих переменных значимые коэффициенты парной регрессии с переменной Y и небольшой коэффициент межфакторной корреляции.

2. Строим уравнение  регрессии  = b₀ + b₁x₁ + b₃x₃

= 0,6299

= -0,5236

= 83,2 – 0,6299∙68,6 + 0,5236∙160,8 = 124,1837

Уравнение регрессии имеет вид: = 124,1837 + 0,6299x₁ – 0,5236x₃

При увеличении среднегодовой ставки по кредитам  на 1% объем прибыли увеличится на 0,6299 млн. руб. При увеличении размера внутрибанковских расходов на 1 млн. руб. объем прибыли снизится на 0,5236 млн. руб. 

3. Линейный коэффициент множественной корреляции:

Определитель  матрицы межфакторной корреляции:

= 0,58449084

Определитель  матрицы коэффициентов парной корреляции:

= 0,342682332

Коэффициент множественной  корреляции:

= 0,6432

Коэффициент множественной  детерминации:

R² = 0,6432² = 0,4137

Индекс  множественной корреляции указывает на заметную зависимость объема прибыли предприятия от среднегодовой ставки по кредитам и размера внутрибанковских расходов. Коэффициент множественной детерминации R² = 0,4137 оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Для построенного уравнения эта доля составляет 41,37% и указывает на заметную степень обусловленности вариации результата вариацией факторов.

Средние коэффициенты эластичности:

Т. е. с  ростом среднегодовой ставки по кредитам на 1%  объем прибыли предприятия увеличивается в среднем на 0,519% при неизменном размере внутрибанковских расходов; с ростом размера внутрибанковских расходов на 1% объем прибыли предприятия снижается в среднем на 1,012% при неизменной среднегодовой ставке по кредитам. 

b - коэффициенты:

= 0,4290

= -0,2768

Т. е. с  ростом среднегодовой ставки по кредитам на 1 среднеквадратическое отклонение  объем прибыли предприятия увеличивается в среднем на 0,4290 среднеквадратического отклонения при неизменном размере внутрибанковских расходов; с ростом размера внутрибанковских расходов на 1 среднеквадратическое отклонение объем прибыли предприятия снижается в среднем на 0,2768 среднеквадратического отклонения при неизменной среднегодовой ставке по кредитам. 

D - коэффициенты:

= 0,6298

= 0,3702

Вариация  объема прибыли предприятия на 62,98% зависит от вариации среднегодовой ставки по кредитам и на 37,02% - от вариации размера внутрибанковских расходов.

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом дает F-критерий Фишера:

При уровне значимости a = 0,05 и числу степеней свободы k₁ = m = 2 и k₂ = n – m – 1 = 7 по таблице находим F_табл = 4,10.

Т. к. F_расч < F_табл, то не подтверждается статистическая значимость уравнения множественной регрессии и показателя тесноты связи.

5. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии

; ;   ,

где

Получаем  ;

;   

Рассчитаем  наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента

;  ;  

По таблице  при уровне значимости a = 0,05 и числе степеней свободы k = 10 – 3 = 7 находим   t_кр = 2,3646