Комплексные числа в науке и технике

             Реферат на тему: комплексные числа в науке и технике. 

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к  расширению понятия числа. Например, для  того чтобы любое уравнение  х+а = в имело корни, положительных  чисел недостаточно и поэтому  возникает потребность ввести отрицательные  числа и нуль. 

         Древнегреческие математики считали,  что а = с и в = а только  натуральные числа, но в практических  расчетах за два тысячелетия   до нашей эры в Древнем Египте  и Древнем Вавилоне уже применялись  дроби. Следующим важным этапом  в развитии понятия о числе  было введение отрицательных  чисел – это было сделано  китайскими математиками за 2  века до нашей эры. Отрицательные   числа применял в 3 веке нашей  эры древнегреческий математик  Диофант, знавший уже правила  действий над ними, а в 7 веке  нашей эры  эти числа подробно  изучили индийские ученые, которые  сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел  можно было единым образом  описывать изменение величин.  Уже в 8 веке нашей эры было  установлено, что квадратный корень  из положительного числа имеет  два значение - положительное и  отрицательное, а из отрицательных  чисел квадратные корни извлечь  нельзя: нет такого числа х,  чтобы  х2 = -9. В 16 веке в связи  с изучением кубических уравнений  оказалось необходимым извлекать  квадратные корни из отрицательных  чисел. В формуле для решения  кубических уравнений содержатся  кубические и квадратные корни.  Эта формула безотказно действует  в случае, когда уравнение имеет  один действительный корень (например, для уравнения  х3+3х-4=0), а если  оно имело 3 действительных корня  (например, х3-7х+6=0),то под знаком  квадратного корня оказывалось  отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения  ведет через невозможную операцию  извлечения квадратного корня  из отрицательного числа.              

         Чтобы объяснить получившийся  парадокс, итальянский алгебраист  Дж.  Кардано в 1545 предложил  ввести числа новой природы.  Он показал, что система уравнений  х+у = 10, ху = 40 не имеющая решений  в   множестве    действительных    чисел,    имеет    решение     всегда х = 5   , у = 5    , нужно только условиться действовать  над такими  выражениями  по  правилам  обычной   алгебры   и   считать, что   = -а. Кардано  называл такие величины  «чисто  отрицательными» и даже «софистически  отрицательными», считая их бесполезными  и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких  чисел нельзя выразить ни результат  измерения  какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но  уже в 1572 г. вышла книга итальянского  алгебраиста Р. Бомбелли, в котором  были установлены первые правила  арифметических операций над  такими числами, вплоть до извлечения  из них кубических корней. Название  «мнимые числа» ввел в 1637г.  французский математик и философ  Р. Декарт, а в 1777г. один из  крупнейших математиков VIII века  Х. Эйлер предложил использовать  первую букву французского числа     i =  (мнимой единицы), этот символ  вошел во всеобщее  употребление  благодаря К. Гауссу (1831г).                                                             

        В течениe 17 века продолжалось  обсуждение арифметической природы  мнимостей, возможности дать им  геометрическое истолкование. Постепенно  развивалась техника операций  над комплексными числами. На  рубеже 17-18 веков была построена  общая  теория  корней   n-й   степени  сначала   из  отрицательных,  а впоследствии и из любых  комплексных чисел.  

         В конце 18 века французский  математик Ж. Лагранж смог сказать,  что математический анализ уже  не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел  научились выражать решения линейных  дифференциальных уравнений с  постоянным коэффициентом. Такие  уравнения встречаются, например, в теории колебаний   материальной   точки  в   сопротивляющейся  среде.  

        Я. Бернулли применил комплексные  числа для вычисления интегралов.    Хотя в течении 18 века с помощью  комплексных чисел были решены  многие вопросы, в том числе  и прикладные задачи, связанные  с картографией, гидродинамикой  и т. д., однако еще не было  строго логического обоснования  теории этих чисел. Поэтому  французский ученый П. Лаплас  считал, что результаты, получаемые  с помощью мнимых чисел, - только  наведение, приобретающие характер  настоящих истин лишь после  подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19 веков было  получено геометрическое    истолкование    комплексных    чисел.      Датчанин Г.Вессель,  француз Ж. Арган и немец  К. Гаусс независимо друг от  друга предложили изображать  комплексное число z=a+bi точкой  М(а,b) на координатной плоскости.  Позднее оказалось, что еще  удобнее изображать число не  самой точкой М, а вектором  ОМ, идущим в эту точку из  начала координат. При таком  истолковании сложению и вычитанию   комплексных чисел  соответствуют   эти  же операции над векторами.  

          Геометрические истолкования  комплексных  чисел позволили определить многие  понятия, связанные с функциями  комплексного переменного, расширило  область их применения. Стало  ясно, что комплексные числа полезны  во многих вопросах, где имеют  дело с величинами, которые изображаются  векторами на плоскости: при  изучении течения жидкости,  задач  теории упругости,   в теоретической  электротехнике.