Эконометрические методы прогнозирования в экономики

 

AR(p)+MA(q)->ARMA(p,q)->ARMA(p,q)(P,Q)->ARIMA(p,q,r)(P,Q,R)->...

 

 

2.2.1. AR(p) -авторегрессионая модель порядка  p.

Модель имеет  вид:

 

Y(t)=f_0+f_1*Y(t-1)+f_2*Y(t-2)+...+f_p*Y(t-p)+E(t)

 

Где Y(t)-зависимая переменная в момент времени t. f_0, f_1, f_2, ..., f_p - оцениваемые параметры. E(t) - ошибка от влияния переменных, которые не учитываются в данной модели. Задача заключается в том, чтобы определить f_0, f_1, f_2, ..., f_p. Их можно оценить различными способами. Правильнее всего искать их через систему уравнений Юла-Уолкера, для составления этой системы потребуется расчет значений автокорреляционной функции. Можно поступить более простым способом - посчитать их методом наименьших квадратов.

2.2.2. MA(q) -модель со скользящим средним порядка q.

Модель имеет вид:

 

Y(t)=m+e(t)-w_1*e(t-1)-w_2*e(t-2)-...-w_p*e(t-p)

 

Где Y(t)-зависимая переменная в момент времени t. w_0, w_1, w_2, ..., w_p - оцениваемые  параметры.

 

3. Эконометрическое  прогнозирование.

      Эконометрическим прогнозированием  называется процесс построения  умозаключений о будущем на  основе эконометрической молели  Результат процесса прогнозирования  представляет собой оценку неизвестного  значения прогнозируемой переменной на интервале прогнозирования, т. е. прогноз этой переменной.

Для построения умозаключений на основе эконометрической модели должны быть выполнены следующие  условия:

1. наличие модели прогнозируемой переменной;
2. стабильность параметров и аналитической формы модели,
3. стабильность распределения случайных отклонений модели;
4. знание значений объясняющих переменных на интервале прогнозирования;
5. допустимость экстраполяции модели за пределы статистических проб.

Существуют  два вида эконометрических прогнозов: точечные и интервальные. Точечный прогноз представляет собой число, признаваемое наилучшей оценкой значения прогнозируемой переменной на интервале прогнозирования. Интервальный прогноз представляет собой численный интервал, который с некоторой априорной вероятностью, называемой достоверностью прогноза, содержит неизвестное значение прогнозируемой переменной на интервале прогнозирования.

Для прогнозов  задается средняя погрешность прогнозирования, которая представляет собой среднее  отклонение прогнозов от фактических значений прогнозируемой переменной на интервале прогнозирования.

 

3.1 Прогнозирование по трендам.

Точечные прогнозы строятся на основе простой экстраполяции  модели тенденции развития. Для этого  в построенную модель вместо переменной времени t подставляется номер интервала прогнозирования Yt, что дает прогноз  переменной Yна интервале T:

                                            Yt=f(T)

Теперь рассмотрим прогнозирование на основе линейного  тренда:

                                                   Y=b + at

Точечный прогноз  в этом случае равен:

 Yt=b+at

Средняя погрешность  прогноза рассчитывается по формуле:

                                           

Где S² _e    - дисперсия остатков модели.

Интервал прогнозирования  определяется для заданной достоверности прогноза β так, что

  P(  dy'_t < y_t  <gy_t  )=β

В этой формуле dy'_t — нижняя граница интервала прогнозирования:

а  gy'_T — верхняя граница интервала прогнозирования:

    Величина Uβ — коэффициент, значение которого в случае, когда случайные отклонения имеют нормальное распределение, выбирается из таблиц функции нормального распределения для заданной достоверности прогноза β. Если случайные отклонения не имеют нормального распределения, то значение коэффициента Uβ определяется из неравенства Чебышева. Если модель тенденции развития прогнозируемого явления нелинейная, то средняя погрешность прогноза и интервальный прогноз определяются на основе линеаризованной модели. В случае, когда в преобразованной модели переменная времени t присутствует в исходном виде, а преобразованию подвергается прогнозируемая переменная, то умозаключение о преобразованное прогнозируемой переменной строится так же, как и в случае линейного тренда. Это возможно только тогда, когда прогностическая модель является показательной. Если же в результате линейной трансформации была преобрaзованна переменная времени, то средняя погрешность прогноза должна рассчитываться по методике (прогнозирование по описательной модели), излагаемой в следующем подразделе.

 

 

3.2 Прогнозирование  по описательной модели

     Теперь займемся прогнозированием по линейной модели, состоящей  из одного уравнения вида:

Y’=a0+a1X1+a2X2+…+akXk

 Для прогнозирования объясняемой переменной У на основе представленной модели необходимо знать значения х't1 , х't2,..., х'tk  объясняющих переменных X1, X2. ., Хк на момент прогнозирования T. В качестве источников этих значений могут  выступать:

тренды объясняющих  переменных;

описательные  модели объясняющих переменных;

планы социально-экономического развития;

иные прогностические  источники

Точечный прогноз  переменной Y рассчитывается как:

а средняя погрешность  прогноза:        

Где  xt — вектор значений объясняющих переменных на момент прогнозирования.

 

    Методика определения интервала прогнозирования аналогична методике, представленной в предыдущем подразделе.

Формула для  расчета средней погрешности  прогноза также применяется для нелинейных моделей тенденции развития. После их линеаризации преобразуется переменная времени t. В этом случае вместо объясняющих переменных   X1, X2. ., Хк мы оперируем соответствующими функциями переменной времени t.

 

3.3 Прогнозирование  методом гармонических весов.

 

      Метод гармонических весов связан с прогнозированием по так называемому принципу устаревания информации. Согласно этому принципу новая информация оказывает на прогнозируемую величину большее влияние, чем старая. Процедура прогнозирования подразделяется в этом случае па два независимых этапа:

сглаживание временного ряда прогнозируемой переменной при  помощи аддитивного тренда;

построение  прогнозов с применением гармонических весов.

Исходной точкой оценивания аддитивного тренда считаются  наблюдения y1,у2 .. Yn прогнозируемой переменной Y. Для  априорно заданного натурального числа s, такого, что s< n, на основе s последовательных наблюдений:

            y1, y2,    ,ys

        y2, y3,      , ys+1

         … …,   …, ……

     yt, yt+1,        , yt+s-1

        … ……,     , ………

     Yn-s+1, Yn-s+2,   Yn

структурные параметры  сегментных линейных трендов оцениваются  с помощью метода наименьших квадратов:

Используются  формулы:

 

Из каждого  уравнения сегментного тренда  определяется теоретические значения прогнозируемой переменой:

Каждой единице  времени соответствует P(t) теоретический  значения:

В результате исследуемый  временной ряд принимает вид:

На следующим  этапе рассчитываются приращения сглаженных значении

временного  ряда:

 

Для реализации принципа устаревания информации определяются гармонические веса (табл X)

 

а верхняя граница  интервала прогнозирования –  по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава III. Решение задач различными методами прогнозирования. 

 

§3.1 Задача прогнозирования по трендам.   

   На основе модели тенденции развития определим прогнозируемую длину электрифицированных железнодорожных путей (в тыс.   км).

 

Таблица 3.1 Длина электрифицированных железнодорожных путей.

Год	У,	Год	У,
1990	3,9	1998	6.5
1991	4,0                          1999		6.7
1992	4.4	2000	6.9
1993	4.7	2001	7.1
1994	5.1	2002	7.4
1995	5.6	2003	7.8
1996	6.0	2004	8,3
1997	6.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Статистические  данные за 1993—2007 гг. представлены в табл. 3.1. Примем достоверность прогноза р - 0,95.

 

Линейный  тренд длины электрифицированных  железнодорожных путей, построенный поданным табл. 3.1, имеет вид:

Y=3.58095+0.38051t (t=1,2,3…15)

 

Дисперсия остатков S²_e = 0,02603, коэффициент сходимости  φ² =0,01256, а стандартные отклонения имеют нормальное распределение.

 

Строим  прогноз на 2006 г., т. е. для T - 20. Точечный прогноз равен:

         Y₂₀ =3,58095+0,30821*20=9,3476 тыс. км 

 

Средняя погрешность прогноза:

тыс. км

Из таблицы I для достоверного прогноза β=0,95 выбираем значения U_β=1.96

Определяем  границы интервала прогнозирования:

 

Нижняя  граница интервала определяется по формуле:

dy₂₀=9,3476 -1,96*0,2029=9,7452 тыс.км

 

Найдем  верхнюю грань по формуле:

gy₂₀=9,3476+1,96*0,2029=10,1429 тыс.км

 

   Интервал  прогнозирования определяется для  заданной достоверности прогноза  β так, что 

 

   Таким обозом интервал  прогнозирования равен: [9,7452:10,1429].C вероятностью β=0,95 можно предположить, что в 2009 году длина электрифицируемых  железнодорожных путей будет находится в этом интервале.

 

§3.2 Задача прогнозирования по описательной модели.

  Этот пример посвящен построению прогноза объема производства некоторого предприятия на 2004 г. при достоверности прогноза р=0,95

Статистические  данные об объеме продукции в тыс. штук (У) в 1990—2000 г представлены в  табл.3.2. Развитие производства на предприятии в исследуемый период времени также иллюстрируется на рис.      

 

Рис. Развитие производства (Y) во времени.

Разброс эмпирических точек на графике свидетельствует, что для описания развития производства можно использовать полиномиальный тренд третьего порядка. После оценивания параметров методом наименьших квадратов получаем.

 

Y=28,04+29,05t-3,655t²+0,1544t³

 

 

Таблица.

Год	У,	Год	У,
1990	53	1997	105
1991	73	1998	105
1992	87	1999	107
1993	96	2000	110
1994	101	2001	116
1995	103	2002	125
1996	104

Данные для  примера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дисперсия остатков S2e =0,3429, а коэффициент сходимости φ2 =0,00073

Оценка матрицы  дисперсии и ковариации структурных  параметров имеет вид:

 

Случайные отклонения модели имеют нормальное распределение. Из таблицы I для достоверного прогноза β=0,95 выбираем значения U_β=1.96

 Вначале строим точечный прогноз. Поскольку горизонт прогнозирования горизонт прогнозирования T=15

 

Y₁₅=28,04+29,05*15-3,655*15²+0,1514*15³=160,25

 

Среднюю погрешность  прогноза оцениваем по формуле.

 

 Вектор значений  объясняющих переменных на горизонте  прогнозирования (в данном случае они представляют собой функции номера интервала прогнозирования T) имеет вид:

 

X₁₅= [1 15  15²  15³]= [1  15  225  3375]

В результате соответствующих вычислений получаем:

S_P15=1,593

Нижняя граница  интервала прогнозирования равна:

dy₁₅=160,25-1,96*1,593=156,54

А верхняя граница интервала прогнозирования равна:

gy₁₅=160,25+1,96*1,593=163,96

Следовательно, интервал прогнозирования имеет пределы: [156.54:163.96]

 

 

§3.3 Задача прогнозирования методом гармонических весов.

   Этот пример  посвящен построению прогнозов  урожая четырех основных зерновых культур на 1987—1988 гг. при достоверности прогноза Р - 0,95. Формирование урожаев данных культур в 1970—1984 гг. представлено в табл. 3.3

 

Таблица 3.3 Урожаи четырех основных зерновых культур в млн. тонн.

Год	У,	Год	У,
1970	15,4	1978	19,6
1971	18,9	1979	15.3
1972	19,3	1980	16.4
1973	20.5	1981	17.2
1974	21,4	1982	18.5
1975	18,0	1983	19.6
1976	19,0	1984	21,7
1 977	17,5