Формализованные методы прогнозирования, практические примеры их приминения

7.Формализованные методы  прогнозирования, практические примеры  их приминения

         Некоторые экономические взаимосвязи и процессы можно описать с достаточной степенью точности при помощи формальных математических зависимостей – формул. На этой возможности основан ряд методов прогнозирования-планирования. Такие методы называются формализованные (лат. forma – образ, вид).

    К формализованным методам относятся методы экстраполяции, корреляционно-регрессионные методы, методы математического моделирования и др.

     Толчком к развитию формализованных методов, особенно методов моделирования, послужило применение электронно-вычислительной техники, позволяющей выполнять большие объёмы вычислений. В развитии формализованных методов обозначился новый этап – этап экономико-математических методов (ЭММ), соединивших в себе математическую теорию и возможности ЭВМ. ЭММ, основанные на методах прикладной математики и математической статистики, позволили значительно расширить возможности применения и направления использования формализованных методов. Появилась возможность глубже анализировать взаимосвязи в экономике, всесторонне обосновывать изменения экономических показателей, ускорять получение и обработку информации, осуществлять многовариантные расчёты планов, прогнозов, программ и выбирать оптимальный вариант по заданному критерию.

     Экстраполяция (лат. extra – сверх, вне; polio – приглаживаю, изменяю) – заключается в изучении сложившихся в прошлом и настоящем устойчивых тенденций экономического развития и перенесении их на будущее. В математическом смысле экстраполяция означает распространение закона изменения функции из области её наблюдения на область, лежащую вне отрезка наблюдения. Тенденция, описанная некоторой функцией от времени, называется трендом. Функция представляет собой простейшую математико-статистическую (трендовую) модель изучаемого явления.

   В общем виде экстраполяция осуществляется следующим образом:

 – сначала собираются  данные об изменении во времени  какой-либо характеристики (нескольких  характеристик) исследуемого объекта  прогнозирования. Упорядоченные  по времени наборы таких данных  называются динамическими (временными) рядами;

 – далее, на основе  собранных данных (временных рядов)  подбирается математическая зависимость  (формула), которая наиболее близко  описывала бы изменение во  времени характеристики объекта прогнозирования.

 В практических исследованиях  наиболее часто применяются зависимости (формулы):

y = ax + b (линейная);

y = ax2 +bx + c (квадратичная);

y = xn (степенная);

y = ax (показательная);

y = aex (экспоненциальная).

     Для определения числовых значений параметров зависимости наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК) и его модификации. Суть МНК состоит в отыскании параметров математической зависимости (модели тренда), минимизирующих отклонения расчётных значений от соответствующих значений исходного ряда, т. е. искомые параметры должны удовлетворять условию

 

где n – число наблюдени

 – значение исходного  ряда;

- расчётное значение;

 – получив математическую  зависимость (формулу), можно подставить  в неё любые значения времени  (в т. ч. и будущего) и вычислить  для этого времени значения  характеристики объекта (в т. ч. и в будущем).

    Сглаживание временных рядов используется как для выявления тенденций изменения, так и непосредственно для построения прогнозов. Для сглаживания рядов часто применяют метод скользящего среднего и метод экспоненциального сглаживания.

     Метод скользящего среднего. Пусть    – стационарный, (т. е. имеющий тренда) динамический ряд. Скользящее среднее указанного ряда определяется по формуле

                                          

 или, что то же  самое, . Поскольку ряд стационарен, в качестве прогноза по методу скользящего среднего берут последнее найденное значение  м

 Скользящее среднее  имеет ряд особенностей. Для того  чтобы начать процесс сглаживания, необходимо иметь в наличии n – 1 предыдущих наблюдений. Поэтому прогноз не может быть построен раньше чем через n моментов времени. Данным, включённым в процесс скользящего среднего, присваивается одинаковый вес, всем остальным – нулевой.

 Для устранения последнего  недостатка можно использовать  процедуры скользящего среднего  с убывающими весами, например,

 Указанные недостатки  метода скользящего среднего  преодолены в процедуре экспоненциального  сглаживания, который также используется  для прогнозирования стационарных  временных рядов. Общая формула  экспоненциального среднего имеет вид:

 где α – коэффициент  сглаживания. В качестве прогноза  берут последнее полученное значение ut.

 Перечислим основные  особенности экспоненциального сглаживания:

 – для вычисления  экспоненциально взвешенного среднего  ut требуются всего два значения: предыдущее значение среднего ut–1 и текущее значение ряда yt;

 – в экспоненциальном  сглаживании нет точки, на которой  веса используемых значений исходного  динамического ряда обнуляются. Рекуррентно подставляя в последнюю  формулу полученные на предыдущих  шагах значения ut, получаем, что наблюдение с лагом k имеет вес α(1–α)k–1. Таким образом, веса экспоненциально убывают со временем.

 

 Одним из достоинств  модели экспоненциального сглаживания  является то, что в её основу  положена логичная и легко  понимаемая концепция. Значение  экспоненциального среднего состоит  из взвешенной суммы текущего  значения исследуемого ряда и  полученного на последнем шаге  экспоненциального среднего, представляющего  тенденцию. Чем больше α, тем  быстрее колебания исходного  динамического ряда отражаются  на общей тенденции. Чем меньше  α, тем сильнее они подавляются  и тем более гладким будет  полученный ряд. Легко вывести  общее правило выбора константы  сглаживания α: для конъюнктурных прогнозов, где в большей степени должна учитываться свежая информация, следует использовать более высокое значение α, чем для долгосрочных прогнозов. Считается, что на практике приемлемые значения константы обычно лежат в промежутке [0,1; 0,3].

     Методы экстраполяции, скользящего среднего, экспоненциального сглаживания не имеют ничего общего с природой объекта и его сущностью. Они описывают лишь предполагаемую тенденцию его развития на основании сложившейся тенденции. Поэтому подобные методы, основанные на продлении тенденций прошлого и настоящего на будущий период, могут использоваться в прогнозировании лишь при небольших периодах упреждения и наличии устойчивых тенденций в развитии исследуемого объекта. Очевидно, что поведение прогнозируемого объекта может неожиданно и значительно измениться, чего невозможно учесть в математических зависимостях, используемых для экстраполяции.

      Регрессионный метод. Метод построения регрессионного уравнения используется при выполнении следующих условий:

 – значение прогнозируемого  показателя зависит от значений  других показателей (факторов), представленных в виде динамических рядов;

 – имеется выборка  данных, каждый элемент которой  содержит значение показателя и набор значений факторов;

 – на период, для  которого строится прогноз показателя, известны значения всех факторов или их можно оценить.

 Пусть имеется выборка  из n элементов, содержащая значения  yi изучаемого показателя и значения xij факторов, где i = 1, …, n – номер случая (элемента выборки), j = 1, …, m – номер фактора. Опишем алгоритм прогноза показателя на основе регрессии. Он состоит из четырёх шагов.

Шаг 1. Эмпирическим путём  выбирается тип зависимости между показателем и факторами:

y = f(x1, …, xm, a0, a1, …, ak),

 где y – изучаемый  показатель (зависимая переменная);

xj j = 1, …, m, – j-й фактор (j-я независимая переменная);

as, s = 0, 1, …, k – неизвестный параметр функции.

 Как правило, выбирается линейная зависимост

y = a0 + a1x1 + j + amxm,

 но на основе визуального  анализа выборки или каких-либо  экономических рассуждений может  быть выбрана зависимость другого типа.

    Шаг 2. Подбираются такие параметры a0, a1, ak, чтобы при подстановке в функцию f значений независимых переменных x1, …, xm из выборки полученные значения функции наиболее точно приближали соответствующие значения переменной y. Критерием точности является сумма квадратов остатков, т. е. разностей между значениями зависимых переменных и значениями функции. Построенное уравнение называется уравнением регрессии.

   Шаг 3. На место независимых переменных в функцию f подставляются значения факторов, известные или оцененные для прогнозируемого периода. Полученное значение функции считается прогнозом.

     Шаг 4. На основе анализа характеристик уравнения регрессии оценивается точность прогноза и делается вывод о целесообразности его использования.

             Зачастую при использовании регрессионного уравнения для прогноза экономического показателя четвёртым шагом пренебрегают, ограничиваясь лишь применением коэффициента детерминации. Этот коэффициент характеризует точность подгонки исследуемой выборки. Для оценки качества построенного уравнения регрессии и точности прогноза существуют другие типы статистических характеристик. Так, статистика Дарбина–Уотсона используется в качестве критерия для проверки автокорреляции у остатков. Отсутствие последней является необходимым условием корректности регрессионного анализа. Для обоснования правомерности использования результатов регрессии проводится также проверка значимости уравнения. О точности прогноза судят по рассчитанным доверительным интервалам. Характер зависимости между показателями анализируют на основе стандартизированных коэффициентов. Расчёт перечисленных, а также многих других характеристик уравнения регрессии реализован в специализированных пакетах прикладных программ для ЭВМ. В пакетах статистического анализа реализованы также методы пошаговой регрессии, когда оптимальный набор независимых переменных формируется автоматически.

           При использовании методов моделирования на основе предварительного изучения объекта и выделения его существенных характеристик «конструируется» модель.

             Экономико-математическая модель любого вида представляет собой формализованное описание исследуемого процесса или объекта в виде математических зависимостей и отношений.

 

             После составления модели проводится её экспериментальный и теоретический анализ, сопоставление результатов прогнозных расчётов на основе модели с фактическими данными состояния объекта или процесса. Модель корректируется и дополняется.

      Исследуя полученную модель, можно предвидеть, каким образом поведёт себя реальный объект в определённых условиях в будущем.

       В прогнозировании и планировании выделяют различные виды (типы) моделей: оптимизационные, факторные, структурные, модели межотраслевого баланса и др. В зависимости от уровня агрегирования один и тот же тип может применяться к различным экономическим объектам, поэтому выделяют модели: макроэкономические, межотраслевые, межрайонные, отраслевые, региональные и микроэкономические (на уровне предприятия, объединения).

   Оптимизационные модели основаны на выборе критерия оптимальности, на основе которого путём сравнения различных вариантов выбирается лучший (оптимальный) вариант. Оптимизационная экономико-математическая модель состоит из целевой функции и системы ограничений. Целевая функция описывает цель оптимизации и отражает зависимость показателя, по которому ведётся оптимизация, от независимых переменных (ограничений). Система ограничений отражает объективные экономические связи и зависимости и представляет собой систему равенств и неравенств, например, между потреблением ресурсов или величинами технико-экономических показателей и установленными лимитами, а также пределами выпуска продукции. Влияние каждой из переменных на величину целевой функции выражается коэффициентом-показателем, экстремум которого выступает критерием оптимальности. Примеры оптимизационных моделей в планировании и прогнозировании: модели оптимизации развития и размещения производств, модели оптимизации структуры производства продукции отраслей промышленности, модели АПК, модели транспортных задач, с помощью которых осуществляется рациональное прикрепление поставщиков к потребителям и определяются минимальные транспортные затраты, и другие.

 

 Применение формализованных  методов в прогнозировании и  планировании ограничено в силу  сложности и многофакторности  экономических явлений и процессов и неочевидности многих экономических взаимосвязей. Жизнь нельзя выразить математической формулой.