Выбор оптимального решения на основе анализа экономико-математической модели

>    В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения. К классическим задачам линейного программирования относятся задачи на составление оптимального плана перевозок (транспортная задача), задачи о загрузке оборудования, о смесях, о раскрое материалов, об ассортименте продукции, о размещении производства и управлении производственными запасами, задачи о питании, о рациональном использовании сырья и материалов и др. Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны следующие стандартные методы решения:

• Графический метод - используется тогда, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.
• Симплекс-метод - реализует рациональный перебор базисных допустимых решений, в виде конечного процесса, необходимо улучшающего значение целевой функции на каждом шаге.
• Двухэтапный метод - он позволяет получить сначала стартовую точку, т.е. начальное допустимое решение, а затем оптимальное решение. В ограничения вводятся искусственные переменные необходимые для получения стартовой точки;
• Метод ветвей и границ - его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов. Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

    2)Стохастическая. В этих моделях неизвестные факторы - это случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.п.).

      3)Неопределённая модель. Для моделирования ситуаций, зависящих от факторов, для которых невозможно собрать статистические данные и значения которых не определены, используются модели с элементами неопределенности.

    В моделях теории игр задача представляется в виде игры, в которой двое (или более) сторон преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера

    В имитационных моделях реальный процесс разворачивается в машинном времени, и прослеживаются результаты случайных воздействии на него, например, организация производственного процесса.[1,c.17] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Практическая  часть.

Постановка задачи: разработать оптимальное управленческое решение по удовлетворения выявленного спроса.

Проблемная ситуация:

    Маркетинговые исследования выявили возможность  дополнительно реализовать 250 тонн бумаги.

    Дополнительное  количество целлюлозы фабрика может  приобретать по 25 тыс.руб. за 1 т, а древесную массу по 16 тыс.руб. за 1 т.

    Расход  полуфабрикатов на 1 т каждого вида бумаги и запасы этих полуфабрикатов приведены в табл.1. 

 

Построение базовой  экономико-математической модели:

   Для построения математической модели данной задачи введем переменные и с их помощью запишем систему ограничений  и целевую функцию. Обозначим:

   X1− объём производства упаковочной бумаги

   Х2−объём производства бумаги для гофрирования.

   Составим  ограничения, учитывающие условие  задачи.

 Ограничение на расход целлюлозы:  0,5*X1+0,75*X2≤ 95 (1)

 Ограничение на расход древесной массы:  0,65*Х1+0,35*Х2≤ 125 (2)

 Ограничение дополнительной реализации бумаги: Х1+Х2≤ 250 (3)

 Целевая функция для данной задачи: 25*Х1+35*Х2→max (4) 
 
 
 
 
 
 
 
 

Составим  графическую модель: 
 
 

 
 

Где:

- целевая функция (4)

- Ограничение на расход целлюлозы(1)

- Ограничение на расход древесной массы(2)

- Ограничение дополнительной реализации бумаги(3) 
 

Решение задачи:

1. Вариант использования ресурсов собственного производства определяется пересечением (1) и (2) прямых, который предполагает необходимость полной переработки ресурсов собственного производства.

Решим систему:

 0,5*X1+0,75*X2=95               Х1=193,6

0,65*Х1+0,35*Х2=125           Х2= -2,4

Полное  использование ресурсов собственного производства осуществить невозможно, т.к. Х2<0, значит бумага для гофрирования не должна выпускаться. Тогда можно выработать 193,6 т упаковочной бумаги с прибылью: F=193,6*25=4840 тыс.руб.   
 
 
 

2. Целесообразность использование покупных полуфабрикатов.

Для этого  используем расчёт двойственных оценок.

Составим  модель обратной задачи: где

У1-оценка ресурсов целлюлозы  

У2-оценка ресурсов древесной массы

У3- оценка уровня спроса на бумагу 

0,5*У1+0,65*У2+У3=25     

0,75*У1+0,35*У2+У3=35   

F=95*У1+125*У2+300*У3→min

У2=У3=0

У1=50

Количество  целлюлозы: 193,6*0,5= 96,8 т

Её получается в избытке т.к. 96,8>95   =>можно убрать

ограничение (1) на графике. 

3. Двигаем целевую функция дальше: Х2=250.

Определим результаты реализации такого варианта.

Значит, потребуется целлюлозы: 250*0,75=187,5 т 

древесной массы: 250*0,35=87,5 т.

Необходимо  приобрести целлюлозы: 187,5-95=92,5 т.

Необходимо  затрат на приобретение: 92,5*25=2312,5 тыс.руб.

Общий финансовый результат: F=25*250-2312,5=3937,5 тыс.руб. 

4.Определим  результаты реализации варианта  решения в

соответствии  с точкой пересечения (2) и (3) прямых на графике.

А именно решим  систему:

0,65*Х1+0,35*Х2=125            Х1=125    

Х1+Х2=250                              Х2=125     

В этом случае древесная масса будет  переработана полностью, а целлюлозы  потребуется:

125*0,5+125*0,75= 156,25 т.

Необходимо  приобрести целлюлозы: 156,25-95= 61,25 т.

Необходимо  затрат на приобретение: 61,25*25= 1531,25 тыс.руб.

Общий финансовый результат:

F=125*25+125*35-1531,25=5968 тыс.руб. 
 
 
 
 
 
 
 

Составим  итоговую таблицу:

 

Вывод: Из рассмотренных четырёх вариантов, видно, что обеспечивают полное удовлетворение спроса варианты решения

№ 3 и №4, но наибольший эффект обеспечивается в 4-ом варианте решения, он подразумевает необходимость приобретения части полуфабрикатов. Значит оптимальным решением данной проблемной ситуации является четвёртый вариант решения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы.

1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черешных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, Издательство «ДИС», 1997.
2. Кравец О.Я. Основы математической экономики: практикум. – Воронеж: «Научная книга», 2007.
3. Экономико-математические методы и модели/ Под. ред. А. В. Кузнецова. Мн.: БГЭУ.1999.
4. Конспект лекций по предмету «Управленческие решения».