Сетевое планирование и управление

Лекция 14.

Тема: СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ

14.1   Понятие сетевого планирования и управления. Сетевая модель.

14.2   Собственные и системные характеристики работ и событий.

14.3   Оптимизация сетевой модели.

Сетевое планирование и управление (СПУ) – это комплекс графических и расчетных методов, организационных мероприятий, обеспечивающих моделирование, анализ и динамическую перестройку плана выполнения сложных проектов и разработок, например таких как: разработка туристской услуги, исследование системы управления организацией, маркетинговое исследование, разработка стратегий организации и др.

Характерной особенностью таких проектов является то, что они состоят из ряда отдельных, элементных работ. Они обусловливают друг друга так, что выполнение некоторых работ не может быть начато раньше, чем завершены некоторые другие. Например, расчет цены услуги нельзя выполнить раньше, чем будет составлена калькуляция; реализация нового тура не может быть осуществлена, если еще не обучен персонал, и т. п.

Сетевое планирование и управление включает три основных этапа:

1.           Структурное планирование.

2.           Календарное планирование.

3.           Оперативное управление.

Структурное сетевое планирование начинается с разбиения проекта на четко определенные операции, для которых определяется продолжительность и необходимые ресурсы. Затем строится сетевая модель (сетевой график), которая представляет взаимосвязи работ проекта. Это позволяет детально анализировать все работы и вносить улучшения в структуру проекта еще до начала его реализации.

Календарное сетевое планирование предусматривает определение моментов времени начала и окончания каждой работы и другие временны'е характеристики сетевого графика. Это позволяет, в частности, выявлять критические операции и пути сетевой модели, которым необходимо уделять особое внимание, чтобы закончить проект в директивный срок. Во время календарного планирования определяются все временные характеристики всех работ и событий с целью оптимизации сетевой модели, которая позволит улучшить эффективность использования какого-либо ресурса (трудовых ресурсов, времени, денежных средств и др.).

В ходе оперативного сетевого управления используются оптимизированный сетевой график и календарные сроки для составления периодических отчетов о ходе выполнения проекта. При этом модель может подвергаться оперативной корректировке, вследствие чего будет разрабатываться новые параметры остальной части сетевой модели.

Сетевая модель – это план выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ, заданного в форме сети, графическое изображение которой называется сетевым графиком. Математический аппарат сетевых моделей базируется на теории графов.

Графом называется совокупность двух конечных множеств: – множества точек, которые называются вершинами, и множества связей между парами вершин, которые называются ребрами. Если рассматриваемые пары вершин являются упорядоченными, т. е. на каждом ребре задается направление, то граф называется ориентированным; в противном случае – неориентированным. Последовательность повторяющихся ребер, ведущая от некоторой вершины к другой, образует путь.

Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует путь, их соединяющий; в противном случае граф называется несвязным.

В экономике и управлении чаще всего используется два вида графов: дерево и сеть.

Дерево представляет собой связный граф без циклов, имеющий исходную вершину (корень) и крайние вершины; пути от исходной вершины к крайним вершинам называются ветвями.

Сеть – это ориентированный конечный связный граф, имеющий начальную вершину (источник) и конечную вершину (сток). Таким образом, сетевая модель представляет собой граф вида «сеть».

Объектом управления в системах сетевого планирования и управления являются коллективы исполнителей, располагающие определенными ресурсами и выполняющие комплекс операций, который призван обеспечить достижение намеченной цели, например разработку новой услуги – исследование системы управления, реализацию комплекса управленческих процедур и операций для достижения стратегической организации и др.

Общий вид сетевой модели изображен на рис. 14.1. Обозначения:

цифры в кружках – номера событий; стрелки между событиями – работы; дробные числа над стрелками: числитель – трудоемкость работы Qij в человеко-часах (или человеко-днях), а знаменатель – количество исполнителей mij человек; число под стрелкой tij – продолжительность выполнения работы в часах (или днях).

Исходные данные для построения сетевой модели, изображенной на рис. 14.1, представлены в табл. 14.1.

Рис. 14.1. Общий вид сетевой модели

Таблица 14.1

Исходные характеристики работ

Обозначения:

№ п/п – порядковый номер работы;

i-j – код работы, определяющий место работы в общем порядке выполнения всего комплекса работ;

i – предшествующее работе событие;

j – последующее за выполненной работой событие;

Qij – трудоемкость работы в человеко-часах или человеко-днях;

mij – количество исполнителей работы, человек.

Элементами сетевой модели являются: работы, события, пути (рис. 14.1).

Работа – это либо любой активный трудовой процесс, требующий затрат времени и ресурсов и приводящий к достижению определенных результатов (событий), либо пассивный процесс («ожидание»), не требующий затрат труда, но занимающий время, либо, наконец, связь между какими-то результатами работ (событиями), называемая фиктивной работой. Обычно действительные работы в сетевом графике обозначаются сплошными стрелками (          ), а фиктивные работы – пунктирными (           ).

Событие – это итог проведенных работ, который дает начало для дальнейших (последующих) работ. Событие не имеет продолжительности во времени. Событие, за которым начинается данная работа, называется начальным для данной работы; оно обозначается символом i. Событие, которое наступает после выполнения данной работы, называется конечным для данной работы; оно обозначается символом j.

В каждой сети имеются два крайних события – исходное и завершающее. На рис. 14.1 это события О и 14. Исходным называется событие в сети, не имеющее предшествующих событий и отражающее начало выполнения всего комплекса работ. Оно обозначается символом I. Завершающим называется событие, которое не имеет последующих событий и показывает достижение конечной цели выполнения комплекса работ. Оно обозначается символом К. В одно и то же событие может входить и выходить из него несколько видов работ.

Путь – это любая последовательность работ в сетевом графике, в котором конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Если известна продолжительность каждой работы tij, то для каждого пути может быть вычислена его общее время выполнения – длина, т. е. общая сумма продолжительности всех работ пути ТLi.

В сетевом графике следует различать несколько видов путей:

1) полный путь – путь от исходного события до завершающего; полный путь с максимальной продолжительностью называется критическим путем Lкр;

2) путь, предшествующий данному событию, – путь от исходного события до данного;

3) путь, следующий за данным событием, – путь от данного события до завершающего;

4) путь между событиями i и j;

5) подкритический путь – полный путь, ближайший по длительности к критическому пути;

6) ненагруженный путь – полный путь, длительность которого значительно меньше длительности критического пути.

Правила построения сетевой модели

Правило 1. Сеть имеет только одно начальное событие и только одно конечное событие.

Правило 2. Сеть вычерчивается слева направо. Желательно, чтобы каждое событие с большим порядковым номером изображалось правее предыдущего. Для каждой работы (i–j) должно выполняться   i<j. Общее направление стрелок, изображающих работы, также должно быть расположено слева направо, при этом каждая работа должна выходить из события с меньшим номером и входить в событие с большим номером. Изображение и обозначение работ и событий представлены на рис. 14.2.

Рис. 14.2. Изображение и обозначение работ и событий

Правило 3. Если в процессе выполнения работы начинается другая работа, использующая результат некоторой части первой работы, то первая работа разбивается на две: причем часть первой работы от начала (0) до выдачи промежуточного результата, т. е. начало второй работы и оставшаяся часть первой работы, выделяются как самостоятельные.

Правило 4. Если «n» работ начинаются и кончаются одними и теми же событиями, то для установления взаимно-однозначного соответствия между этими работами и кодами необходимо ввести (n-1) фиктивных работ. Они не имеют продолжительности во времени и вводятся в данном случае лишь для того, чтобы упомянутые работы имели разные коды.

Правило 5. В сети не должно быть событий, в которые не входит ни одной работы, кроме исходного события. Нарушение этого правила и появление в сети, кроме исходного, еще одного события, в которое не входит ни одной работы, означает либо ошибку при построении сетевого графика, либо отсутствие (непланирование) работы, результат которой необходим для начала работы.

  Правило 6. В сети не должно быть событий, из которых не выходит ни одной работы, кроме завершающего события. Нарушение этого правила и появление в сети, кроме завершающего, еще одного события, из которого не выходит ни одной работы, означает либо ошибку при построении сетевого графика, либо планирование ненужной работы, результат которой никого не интересует.

Правило 7. События следует нумеровать так, чтобы номер начального события данной работы был меньше номера конечного события этой работы.

Правило 8. В цепи не должно быть замкнутого контура.

Построение сети является лишь первым шагом на пути к построению календарного плана. Вторым шагом является расчет сетевой модели, который выполняют на сетевом графике, пользуясь простыми правилами и формулами (1)–(14), или используют математическое представление сетевой модели в виде системы уравнений, целевой функции и граничных условий (см. [4], с. 118–143). Третий шаг – оптимизация модели.

Собственные характеристики работ

К собственным характеристикам работ относятся:

– ij – двойные индексы работ, указывают место работы в сетевой модели и взаимосвязь с другими работами и событиями; i – индекс события предшествующей началу работы; j – индекс события, последующего за окончанием работы;

– Qij – трудоемкость работы в человеко-часах или в человеко-днях;

– mij – количество исполнителей, человек;

– tij – продолжительность выполнения работы в часах (или днях);

продолжительность работы – величина переменная и вычисляемая:

                                     tij = Qij / mij.                                                              (1)

Системные характеристики событий

К системным характеристикам событий относятся: номера (индексы) событий, ранние и поздние сроки наступления событий и резервы времени событий.

Номера событий – i или j; система нумерации должна обеспечивать условия: для каждой работы индексы i, j должны быть в отношениях i < j.

Ранний срок наступления события – Тpi – это время, которое необходимо для выполнения всех работ, предшествующих данному событию. Оно равно наибольшей из продолжительности путей, предшествующих данному событию.

Для исходного события Tpо = 0.

Для всех остальных событий

                         Тpi = max {Тpc'.+ tc'i} или                                                   (2)

                         ,                                                                  (2,а)

где max – максимум берется по всем работам (ij) одного из предшествующих путей событию i (рис. 4.12);

с' – индекс события (вместо i) в формуле (2), предшествующего событию i, для которого определяется Тpi.

с – индекс события I в формуле (2,а), для которого определяется Тpi.

Рис.14.3. Схема расчета раннего срока наступления события i по формулам (2) и (2,а)

Поздний срок наступления события Tпi – это такое время наступления события i,  превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети. Поздний срок наступления любого события равен разности между продолжительностью критического пути и наибольшей из продолжительности путей, следующих за событием i. Поздние сроки свершения событий рассчитываются от текущего к завершающему событию. Для завершающего события , для всех остальных событий (рис.14.4).

                          или                                                            (3)

                          ,                                                          (3,а)

где - продолжительность критического пути;

        с – текущее значение события i, для которого определяется поздний срок наступления события;

         k – завершающее событие;

         j – событие, последующее за событием i.

Рис.14.4. Расчет позднего срока Tni наступления события i по формулам (3) и (3,а)

Резерв времени наступления события Ri – это такой промежуток времени, на который может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения проекта в целом. Начальные и конечные события критических работ имеют нулевые резервы событий.

                                                                                                      (4)

Рассчитанные численные значения временных параметров событий допустимо записывать прямо в вершине сетевого графика (рис. 14.5).

Рис.14.5. Отображение временных параметров событий в вершинах сетевого графика

Системные характеристики работ

Rij – полный резерв работы показывает, на какое время может быть увеличена продолжительность tij отдельной работы  ij , чтобы при этом - длина максимального из путей, проходящих через эту работу не превысила бы длины критического пути;

                                                      ,                                                (5)

- свободный резерв времени работы ij – это та часть полного резерва, которая сохраняется у нее при условии, что конечное событие работы совершится в самый ранний срок, т.е. это резерв времени только данной работы, позволяющий увеличить ее продолжительность, не вызвав изменений ранних сроков совершения начального и конечного события остальных работ:

                                                  ;                                          (6)

Свободный резерв времени используются как вспомогательный параметр при необходимости более детального анализа конкретных ситуаций, возникающих в ходе выполнения работ;

- частный резерв времени работы ij – это максимальный запас времени, на который можно задержать начало работы или (если она началась в ранний срок) увеличить ее продолжительность, не изменяя ранних сроков начала последующих работ:

                                                ;                                                   (7)

- независимый резерв времени работы ij – это запас времени, при котором все предшествующие работы заканчиваются в поздний срок, а все последующие – начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ:

                                              ;                                               (8)

Работы, лежащие на критическом пути, резервов времени не имеют;

- резерв трудовых ресурсов (исполнителей работ):

                                           .                                           (9)

Характеристики путей сетевой модели

Продолжительность пути является временной характеристикой и отражает сумму времени на выполнение всех работ, принадлежащих этому пути, между конкретными событиями.

Для полного пути общая продолжительность работ равна

                                  ; ,                                   (10)

где n – номер полного пути;

      I – начальное событие для всего комплекса работ;

      J – конечное событие – окончание работ всего комплекса.

Для частного пути (предшествующего событию, следующего за событием или между событиями):

                                                   ,                                                  (11)

где iн – событие начала частного пути;

      jк – событие конечное частного пути.

Для критического пути продолжительность пути максимальная:

                                                                                           (12)

Для ненагруженных путей существует характеристика напряженности или сложности количественного выражения как коэффициент напряженности:

                                             ,                                               (13)

Где - величина отрезка исследуемого пути, совпадающая с критическим путем;

        - продолжительность критического пути;

         - продолжительность максимального, но не критического пути, проходящего через данную работу.

Чем выше , тем сложнее выполнить данную группу работ в установленные сроки; чем меньше , тем большими резервами обладает этот путь в сети.

Содержание организационной процедуры «сетевое планирование».

Сетевое планирование предполагает выполнение следующих этапов:

1.                             Разрабатываются планы выполнения всех отдельных работ комплекса; определяется трудоемкость выполнения, необходимые трудовые и иные ресурсы.

2.                             Устанавливается взаимосвязь работ и их относительный порядок выполнения.

3.                             Формируются события и присваиваются им номера по рассмотренным ранее правилам. Результаты выполнения этапов оформляются в виде таблицы (пример см. табл. 14.1).

4.                             Составляется сетевой график (модель) по соответствующим правилам.

5.                             Выполняется расчет всех параметров сети по формулам (1) – (13) и определяется критический путь.

6.                             Выполняется анализ сети. По коэффициентам напряженности и резервам времени классифицируются пути и работы.

7.                             Выполняется оптимизация сети – частная или комплексная по одному из критериев. При использовании частного критерия «минимум времени выполнения всего комплекса работ» определяется возможность сокращения продолжительности работ критического пути за счет ненапряженных путей – перераспределение ресурсов (перевод части работников на работы критического пути), т.е. проводится варьирование количества работников для работ ненапряженных и критического пути.

При использовании критерия «Минимум затрат» подсчитываются затраты на заработную плату работников, занятых выполнением комплекса работ. Перечень специалистов, их оклады, время работы, количество работников каждой квалификации сводятся в таблицу.

Для работ носящих вероятностный характер, определяется и выполнения работ. На основе этих двух или трех оценок с привлечением наиболее вероятного времени () находится ожидаемое время выполнения каждой работы :

                                            .                                               (14)

Пример построения и оптимизации сетевой модели

Определение исходной длительности работ для определения исходной длительности (продолжительности) работ пользуемся формулой (1)

Результаты расчетов в часах следующие

Построение исходной сетевой модели используя 8 правил, построим: сетевую модель по исходным данным графическим способом (см. рис. 14.1).

Определение и анализ системных характеристик исходной сетевой модели. Определим все возможные полные пути сетевой модели (рис. 14.1), которые представим как цепочки событий от начального до конечного события:

Путь L1 : 0 – 1 – 5 – 10 – 13 – 14;

Путь L2 : 0 – 1 – 5 – 13 – 14;

Путь L3 : 0 – 1 – 6 – 11 – 13 – 14;

Путь L4 : 0 – 2 – 7 – 11 – 13 – 14;

Путь L5 : 0 – 3 – 7 – 11 – 13 – 14;

Путь L6 : 0 – 4 – 8 – 3 – 7 – 11 – 13 – 14;

Путь L7 : 0 – 4 – 9 – 12 – 14;

Возможных путей семь. Произведем расчеты, с помощью которых вычислим продолжительности каждого пути. Для этого воспользуемся формулой (10)

, где ti-j – продолжительности работ данного пути (в часах).

= 20 + 4 + 4 + 4 + 4 = 36 часов

= 20 + 4 + 4 + 4 = 36 часов

= 20 + 20 + 20 + 20 + 4 = 84 часов

= 10 + 0 + 4,29 + 20 + 4 = 38,29 часов

= 6,67 + 4 + 4,29 + 20 + 4 = 38,96 часов

= 3,5 + 4 + 0 + 4 + 4,29 + 20 + 4 = 39,79 часов

= 3,5 + 3 + 4 + 4 = 14,5 часов

Выделим критический путь Lкр. Путь с наибольшей продолжительностью по времени будет являться критическим. Это путь L3 с продолжительностью = 84 часа.

Найдем среднее значение продолжительности пути . Для этого воспользуемся формулой , где n – количество путей. Тогда TLcp=284,57/7=40,65 (часов).

Имея величину TLcp  рассчитаем резерв времени RLi для каждого пути Li. Резерв времени вычисляется по формуле RL = TLcp-TLi. Данные о продолжительности путей и резервах времени по путям приведены в таблице.

Таблица 14.2

Исходные продолжительности и резервы пути.

Отрицательное значение RL3 свидетельствует о том, что этот путь критический и условный дефицит времени составляет 43,35 часа.

Рассчитаем характеристики событий. При определении ранних сроков наступления событий Тpi двигаемся по сетевому графику слева направо и используем форму (2) при определении поздних сроков наступления событии Тпi  двигаемся по сетевому графику справа налево и используем формулы (3) или (3, а).

Вычисленные характеристики представлены в таблице 14.3

Таблица 14.3

Ранние и поздние сроки наступления событий

Вычислим максимальный запас времени, на который можно отсрочить начало или увеличить длительность каждой работ без увеличения длительности критического пути. Этот запас называется резервом времени работы и обозначается RfJ. Для этого воспользуемся формулой (5)

Работы на критическом пути не имеют полного резерва времени, для них Ri-j = 0, тогда получаем, что

Оптимизация сетевой модели (рис.) по критерию «минимум времени» позволяет решить задачу сокращения времени выполнения всего комплекта работ. Минимизация времени выполнения всего проекта возможна только за счет сокращения продолжительности выполнения работ, лежащих на критическом пути LK. Для этого с ненагруженных путей мы должны снять исполнителей и равномерно распределить их по критическому пути и близким к критическому (подкритическим) путям.

Введем новые обозначения: ml_j ↓ - исполнители, снятые с работы i-j; ml_j ↑ -исполнители, назначенные на работу i-j; m’l_j - новое количество исполнителей на работе i-j; tij - новая продолжительность работы i-j.

Количество исполнителей ml-j ↓, которых возможно снять с работ вычислим по формуле (9). При перераспределении исполнителей необходимо соблюдать условия:

1)  m'i-j = mi-j +mi-j↑ - для критического пути;

2) m'i-j = mi-j +mi-j↓ - для ненагруженных путей;

3) ∑ mi-j↓ =∑ mi-j↑ - общая сумма исполнителей снятых с работ ненагруженных и добавленных на работы критического пути.

Из возможных вариантов mi-j↓ выберем работы i-j, с которыми наиболее удобно снять исполнителей. Для этого мы проведем собственно оптимизацию данного проекта безмашинным способом, переставляя исполнителей с ненагруженных путей Li на работы i-j критического пути Lкр. Перестановки исполнителей и результаты оптимизации отражены в таблице 14.4

Таблица 14.4

Результаты перераспределения трудовых ресурсов (исполнителей)

Определим новую продолжительность времени выполнения всех работ каждого пути после оптимизации

TL1 =5 + 6 + 6 + 5 + 4 = 26(часов)

TL2 = 5 + 6 + 8 + 4 = 23(часов)

TL3 =5 + 8 + 5 + 5 + 4- 21{часов)

TL4 =10 + 0 + 6 + 5 + 4 = 25(часов)

TL5 = 6,67 + 4 + 6 + 5 + 4 = 25,67(часов)

TL6 = 4,67 + 4 + 0 + 4 + 6 + 5 + 4 = 27,67(часов)

T7i = 4,67 + 6 + 8 + 8 = 26,67(часов)

Для удобства сравнения продолжительности путей исходной сетевой модели с продолжительностью путей оптимизированной сетевой модели обратимся к таблице 14.5

Таблица 4.6 Системные характеристики исходной и оптимизированной сетевой модели

Общее время выполнения комплекса работ сократилось в 3 раза.