Контрольная по "Исследование Систем Управления"

      Условие задачи. Вы работаете на авиационном  заводе начальником цеха по изготовлению и монтажу обзорных стекол для  кабин пилотов самолетов. В цех  поступило 360 листов специального оргстекла. Размер одного листа 7х8 м. Из каждого  листа необходимо выкроить заготовки двух видов: заготовки А- размером 3х6 м и заготовки Б- размером 2х4 м.

      Необходимо  получить как можно больше заготовок  обоих видов с наименьшим количеством  отходов. Кроме того, необходимо обеспечить комплектность заготовок: на 1 заготовку  А должно приходиться 3 заготовки Б, то есть соблюдаться соотношение затог. А: загот. Б= 3:1

      Задание 1. Решите задачу выбора оптимального решения  «на глазок», то есть методом простого житейского перебора наиболее приемлемых вариантов планов раскроя.

      Решение.

     При переборе решений найден следующий вариант:

     36 листов оргстекла раскраиваются по следующей схеме

     

     Оставшиеся  325 листов раскраиваются по нижеследующей схеме

     

     Таким образом, полученное число деталей  при данном варианте

     Деталей А: 324*2=648

     Деталей Б: 36*6=216

     Соотношение количества заготовок деталей А  и Б: 3:1 выполняется.

     Задание 2. Решите задачу выбора оптимального решения  методом математического программирования, путем построения графика области  допустимых планов раскроя.

     Решение.

     Составим  математическую модель задачи линейного  программирования.

     Рассмотрим  последовательность рассуждений, которая  приводит к составлению математической модели.

     Для того чтобы определить понятие –  план раскроя, составим все возможные способы раскроя одного листа. Способы представлены на рисунке. Выход заготовок нужного формата при различных способах раскроя сведем в таблицу.

     Таблица. Количество заготовок, получаемых при возможных способах раскроя одного листа оргстекла

 

 

     

     

     Рисунок. Возможные способы раскроя одного листа партии заготовок

     Тогда план раскроя – это количество заготовок из партии, предназначенных к раскрою каждым способом. Обозначим неизвестные, составляющие план раскроя,   Кроме того, в задаче необходимо ввести еще одну переменную   – количество комплектов, которое можно изготовить при данном плане раскроя. Тогда целевую функцию задачи можно записать в виде

                               (1)                                                              

     Тот факт, что раскроено должно быть ровно 360 лиcтов, запишем в виде ограничения:

                            (2)                                    

     Далее необходимо формализовать требование, устанавливающее пропорциональность нарезки заготовок заданных размеров. Предварительно можно записать формулы, определяющие количество заготовок каждого заданного размера.

     Требование  пропорциональности заготовок записать в виде следующей системы ограничений:

                    (3)

     Целевая функция (1) и система ограничений (3) совместно с ограничением (2) составляет математическую модель задачи.

     Для составления оптимального плана  раскроя материала построим график, по оси X отложено количество заготовок А, а по оси Y – число заготовок Б. При этом каждому способу раскроя соответствует своя точка на графике. Точки – способы раскроя – указывают границы области допустимых планов.

     

     Для того чтобы обеспечить комплектность  заготовок, необходимо ограничиваться лишь теми точками области допустимых планов, которые лежат на луче ОК. Он построен таким образом, что все его точки соответствуют требуемому отношению заготовок А и Б: 3:1.

     Оптимальному  плану соответствует точка, наиболее отдаленная от начала координат, – ведь при этом число заготовок будет наибольшим. Этот план дает точка, лежащая на пересечении луча ОК с границей области допустимых планов – линией, соединяющей способы а и г, это точка с координатами (2; 2/3), то есть оптимальный план раскроя будет включать 1/3*360=120 планов раскроя г и 240 планов раскроя а.

     Проверим  теперь наш оптимальный план на партии в 360 листов. 240 листов раскроим по способу а и получим 240*2=480 заготовок А и 240*1 = 240 заготовок Б. 120 листов раскроим по плану г, получим 120*2=240 заготовок А. Всего получилось 720 заготовок А и 240 заготовок Б – комплектность 1 к 3 соблюдена.

     Задание 3. Определите убытки ,которые понесет цех, и первом и втором вариантах решения, если стоимость одного квадратного метра диста- 1000 рублей. Сравните убытки между собой.

     Решение.

     Определим убытки, которые понесет цех .

     При оптимальном варианте, определенном в первом варианте:

     При раскрое варианта 1 останется (2*7+1*6)*324=6480 кв. м. оргстекла

     При раскрое варианта 2 останется (1*8)*36=288 кв. м. оргстекла

     Общие убытки при раскрое составят (6480+288)*1000=6768000 руб.

     При оптимальном варианте, определенном во втором варианте:

     При раскрое варианта а) останется (1*6+2*3)*240=2880 кв. м. оргстекла

     При раскрое варианта г) останется (1*6+2*7)*120=2400 кв. м. оргстекла

     Общие убытки при раскрое составят (2880+2400)*1000=5280000 руб.

     Таким образом, видно, что вариант, определенный методом математического программирования, путем построения графика области допустимых планов раскроя, является более оптимальным ,поскольку убытки при его использовании меньше на 1488000 руб. 
 
 
 
 
 

     Список  использованных источников 

      

1. Мартышенко  С.Н. Оптимизационные модели в экономике. Практикум
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черешных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник.- М.:МГУ, 1997.