Использование линейного программирования в процессе принятия управленческих решений

- скорость v выступает в качестве управляемой переменной (переменной решения);

- время  t - критерий или показатель эффективности;

- решение - выбор средней скорости движения⁴.

     Зададимся вопросами. Достаточно ли полно такая  математическая модель описывает реальную ситуацию? Являются ли количественные оценки, получаемые с помощью модели, достаточными для принятия наилучшего решения? Очевидно, что нет. В модели не учтен ряд факторов внешней среды, таких, как время суток (характеризует загруженность трассы в различные периоды дня и ночи), погодные условия (снег, дождь, сухая погода). Не учтены скоростные возможности и ходовые качества автомобиля, т.е. параметры, характеризующие сам объект управления. Никак не учтена квалификация водителя и т.д. Означает ли это, что такая математическая модель бесполезна, а результаты, полученные с ее помощью, не помогают в выборе, обосновании и подготовке решения?

     Конечно, нет. Во-первых, лицу, принимающему решение, она дает возможность получить количественные оценки-ориентиры для выбора соответствующей стратегии. Во-вторых, неучтенные вначале факторы внешней среды и параметры объекта управления можно добавить в исходную модель в качестве ограничений следующего вида:

- скорость автомобиля по техническим причинам не может быть выше 80 км/ч;

- период непрерывного управления автомобилем одним водителем не должен превышать 6 ч, после чего необходимо делать остановки продолжительностью, например, 1 ч;

- в случае плохих погодных условий реально достижимая средняя скорость не может превышать, например, 40 км/ч и т.д.

     В результате новая, расширенная модель поможет количественно оценить  различные варианты поведения уже с учетом перечисленных ограничений.

     Этот  простейший пример иллюстрирует ряд особенностей, характерных для любой математической модели. Во-первых, требования к модели всегда противоречивы. С одной стороны, она должна быть достаточно адекватной - в ней по возможности должны быть учтены все важные факторы, от которых существенно зависит выбор решений. С другой стороны, модель не должна быть чрезмерно усложнена для того, чтобы существовала возможность установить аналитические зависимости между входящими в нее величинами.

     При построении математической модели сама управленческая ситуация также упрощается и схематизируется. Из множества факторов в нее включают наиболее важные и весомые так, чтобы существующие закономерности можно было описать с помощью математического аппарата. При этом «две опасности всегда подстерегают составителя модели: первая - утонуть в подробностях ("из-за деревьев не увидеть леса"); вторая - слишком огрубить явление ("выплеснуть из ванны вместе с водой и ребенка")»⁵. Вместе с тем, чем удачнее создана модель и чем лучше она отражает характерные черты объекта управления, тем успешнее будет исследование и полезнее рекомендации, полученные на ее основе.

     Общих способов построения математических моделей  не существует. В каждом конкретном случае они строятся исходя из целевой направленности операции, с учетом требуемой точности решения, а также точности, с которой могут быть известны исходные данные.

     Очевидно  также, что наиболее разумно применять  математические модели там, где с  их помощью удается принимать решения более обоснованные и более взвешенные, чем без них. 
 

1.3. Области применения  линейного программирования  в принятии решений 

     Располагая  математической моделью объекта  управления, можно решать различные задачи - оценивать те или иные решения, проводить исследования типа «что будет, если...» и многое другое. Понятно, что наибольший интерес в реальном менеджменте представляют задачи, связанные с нахождением наилучшего из возможных решений, которые называют задачами оптимизации.

     При постановке любой задачи оптимизации, как правило, необходимо определиться со следующими вопросами:

- что значит «наилучшее решение» (какой критерий или критерии оптимальности выбрать);

- за счет чего можно добиться наилучшего решения (какие характеристики объекта управления изменить);

- какие из решений являются допустимыми;

- в каких пределах можно изменять характеристики объекта управления для достижения наилучших результатов?

     Выбор критериев (показателей эффективности) и условий оптимизации (максимизировать или минимизировать критерий) являются прерогативой лица, принимающего решение. Определяющим при этом всегда является цель. Выбор критерия часто позволяет подготовить ответ и на второй вопрос: определить и отобрать те факторы - характеристики объекта управления, с помощью которых (изменяя которые) лицо, принимающее решение, может управлять процессом. Такие характеристики называют управляемыми переменными, или переменными решения. Например, повысить доход от реализации продукции можно различными путями: за счет снижения производственных издержек, за счет рационального выбора номенклатуры выпускаемых изделий, за счет улучшения сбытовой политики, за счет более рационального размещения торгово-сервисных центров и т.д. Выбор ответа - за лицом, принимающим решение. Именно лицо, принимающее решение, в зависимости от стоящих перед ним задач, его полномочий и информационного состояния, формирует перечень факторов и признаков (переменных решения), с помощью которых будет достигаться наилучшее из доступных ему решений⁶.

     Для оценки количественного влияния  управляемых переменных на критерий необходимо либо иметь математическую модель, либо создать ее. Если критерий оптимальности обозначить через  Z, а переменные решения через {х₁, х₂,...х_n}, то математическую модель, характеризующую взаимосвязь между критерием и управляемыми переменными, можно символически представить как некоторую функцию (математическую зависимость):

     Z = f (х₁, х₂,...х_n),

которую в задачах оптимизации принято  называть целевой.

     Пример 1

     Мебельная фабрика выпускает три вида изделий: диваны, стулья и кресла. Доход от реализации одного изделия каждого типа известен и составляет 2000, 500, 1000 руб. соответственно. Требуется построить целевую функцию, позволяющую количественно оценивать месячный доход фабрики в зависимости от объемов выпускаемой продукции.

     Решение

     Доход от реализации продукции, выпущенной фабрикой, обозначим через Z Очевидно, что его величина зависит от количества изделий каждого наименования, которые изготовит фабрика. В качестве управляемых переменных можно выбрать количество выпущенных изделий: число диванов, стульев и кресел (шт.), обозначим через x₁ x₂, х₃ соответственно. Зная доход от реализации единицы каждого изделия (2000, 500, 1000 руб.), легко записать формулу, позволяющую рассчитывать суммарный доход в зависимости от того, сколько изделий каждого типа будет выпущено фабрикой:

     Z= 2000 x₁ + 500х₂ + 1000х₃.

     Такая целевая функция связывает критерий оптимальности - доход Z, который необходимо максимизировать, с переменными решения - объемами выпуска изделий x₁,х₂,х₃. Она позволяет рассматривать и количественно оценивать различные решения - варианты производственных программ {x₁,х₂,х₃}, сравнивать их между собой с целью выбора наилучшего сочетания {x₁,х₂,х₃} (обеспечивающего наибольший доход от реализации).

     Вопрос  о том, в каких пределах можно варьировать (изменять) управляемые переменные для достижения наилучшего результата, во многом определяется тем, насколько лицо, принимающее решение, свободно или ограничено в выборе переменных х₁,х₂, x₃. При этом теоретически возможны две ситуации:

- никаких ограничений по выбору значений для управляемых переменных нет;

- возможности по выбору значений каждой из переменных x₁,x₂,x₃ ограничены. Ограничения могут быть связаны с недостатком имеющихся в наличии ресурсов (материальных, трудовых), с особенностями внешней среды (ограниченность спроса на продукцию, наличие уже подписанных контрактов на поставку продукции) и т.д.⁷

     Если  первая ситуация в реальной управленческой деятельности встречается достаточно редко, то со второй приходится сталкиваться постоянно. Поэтому в большинстве задач оптимизации, как правило, присутствуют ограничения, накладываемые на управляемые переменные.  Если эти ограничения удается записать в аналитическом виде, то помимо целевой функции задача оптимизации будет содержать совокупность ограничений, которую можно представить как систему математических соотношений.

     Пример 2

     В результате изучения спроса на изделия  мебельной фабрики (пример 1) службой маркетинга было установлено, что спрос на диваны никогда не превышает 130 шт. в месяц, а на кресла 200 шт. В то же время согласно уже подписанным контрактам, фабрика обязана поставить заказчику стулья в количестве не менее 700 шт. Требуется сформировать и включить в задачу оптимизации ограничения, накладываемые на переменные решения.

     Решение

     Управляемые переменные (переменные решения) x₁,х₂,х₃ - это количества диванов, стульев и кресел, выпускаемых фабрикой (месячная производственная программа). С учетом информации, приведенной выше, возможность выбора значений для x₁,х₂,х₃ теперь ограничена условиями реального спроса на продукцию и необходимостью выполнения контрактных обязательств:

- ограничение спроса на диваны означает, что их в производственной программе должно быть не более 130, т.е. x₁ < 130;

- ограничение спроса на кресла означает, что их в производственной программе должно быть не более 200, т.е. х₃ < 200;

- необходимость выполнения контрактных обязательств по стульям означает, что их в производственной программе должно быть не менее 700, т.е. х₂ > 700.

     Объединяя полученные результаты, сводим все  ограничения в систему неравенств

     Таким образом, набор значений {х₁,х₂,х₃} уже не может состоять из любого сочетания трех переменных, как это было в примере 1, а может выбираться только из того подмножества производственных программ (комбинаций {х₁,х₂,х₃}), для которого выполняются вышеприведенные ограничения.

     Вид ограничивающих соотношений (тип функциональной связи, запись соотношений в виде уравнений либо неравенств) зависит  от решаемой задачи и в каждом конкретном случае различен⁸.

     Принципиальным  является то, что любые ограничения  снижают возможности выбора и, следовательно, число возможных решений. В связи  с этим в задачах оптимизации  широко используют понятие области допустимых решений (ОДР), т.е. области, выделяемой из множества всех значений управляемых переменных, внутри которой допустим поиск оптимального решения {х₁,х₂,..., х_п) (рис. 2). С математической точки зрения ОДР полностью задается системой ограничений, записанных в виде аналитических выражений.

Рис. 2. Область допустимых решений 

     Таким образом, математическая задача оптимизации  в самом общем виде формулируется следующим образом: требуется найти такой набор значений для переменных решения {х₁,х₂,...,х_п}*, который обращает критерий оптимальности Z в максимум (max) или минимум (min), при условии, что {х₁,х₂,..., х_п}* удовлетворяет заданной системе ограничений.

     Запись  целевой функции в совокупности с условием оптимизации (максимизация или минимизация) и системой ограничений  называют моделью оптимизации.

     Построение  математических моделей оптимизации  всегда требует, с одной стороны, как можно более адекватного  описания реальной ситуации, а с другой, введения элементов идеализации и упрощения для того, чтобы задачу можно было решить доступными математическими методами и получить необходимые результаты. Поэтому на этапе ее постановки и формализации абсолютно необходимо тесное сотрудничество и взаимодействие аналитиков с лицами, принимающими решения⁹.

     Задачи  линейного программирования отличаются относительной простотой и понятным содержательным смыслом. Их высокая эффективность и полезность подтверждена широким применением во многих практически важных задачах, связанных с принятием решений. Сегодня они получили довольно широкое распространение. К числу наиболее известных задач относятся: задачи о распределении ограниченных ресурсов (задачи оптимального планирования); задачи об оптимальной корзине продуктов (задачи о диете, задачи оптимального смешения); задачи оптимального раскроя (материалов, заготовок); транспортные задачи; задачи о назначениях.