Общие положения о разработке экономико-математических моделей оптимизации производственно-экономических процессов в АПК

Тема 1. Общие положения  о разработке экономико-математических моделей оптимизации  производственно-экономических  процессов в АПК 

     1. Общий порядок  разработки и решения  задач оптимизации

     Разработка  экономико-математической модели и  решение задачи ее оптимизации осуществляются  в следующей последовательности:

     1) постановка задачи, обоснование  критерия оптимальности и формулировка, в общем виде, математической  записи функции цели;

     2) разработка систем переменных  и ограничений, формулировка, в  общем виде, математической записи ограничений;

     3) сбор, анализ и обобщение информации, разработка технико-экономических  коэффициентов и коэффициентов  функции цели;

     4) построение числовой модели (матрицы  ЭММ) и ее математическая запись;

     5) ввод модели в электронно-вычислительную машину и запуск задачи на решение;

     6) анализ результатов решения задачи, корректировка модели, повторные  решения задачи;

     7) установление  оптимального варианта  плана и заключительный анализ  решения задачи. 

2. Постановка задачи  оптимизации

     Постановка  задачи построения и оптимизации экономико-математической модели определяет типом решаемой задачи (предметом исследования) и заключается в раскрытии следующих вопросов:

• предмет исследования и тип решаемой задачи (оптимизация производственно-отраслевой структуры организации, рационов кормления сельскохозяйственных животных, каналов реализации продукции, работы МТП, кормопроизводства и др.);
• сущность задачи (раскрывается ее краткое содержание, например, в первом типе – достижение оптимального сочетания отраслей, производств с учетом наличия ресурсов, планами перспективного развития, сложившейся структуры производства, особенностей организации, выбранного критерия оптимальности посредством оптимизации модели предмета исследования) и необходимость ее решения (обусловлены состоянием и необходимостью совершенствования предмета исследования);
• цели решения задачи: основная и дополнительные (раскрываются предполагаемые конечные результаты решения задачи, например, повышение эффективности деятельности, отдачи ресурсов, продуктивности животных, снижение материалоемкости, себестоимости и т. д.).
• требования, предъявляемые к порядку решения задачи (уясняется детализированный порядок решения выбранного типа задачи);
• факторы, оказывающие влияние на результаты решения задачи (устанавливаются типичные факторы, определяющие перспективное состояние предмета исследования);
• особенности объекта исследования (организации, объединение организаций, подразделение организации), определяющие специфичность перспективного состояния предмета исследования;
• используемые для решения задачи, ЭВМ и программное обеспечение.

3. Выбор критерия  оптимальности

     Достижение  желаемого значения критерия оптимальности  является математической интерпретацией основной цели решения задачи. Поэтому  его выбор сопровождается экономическим обоснованием и математическим описанием (описанием функции цели). Установление критерия оптимальности осуществляется в следующем порядке:

• выбирается и обосновывается такой результативный показатель (критерий оптимальности) из возможных, оптимизация модели по которому в наибольшей степени будет удовлетворять основной цели задачи. Перечень возможных критериев зависит от типа решаемой задачи;
• устанавливается предельное (экстремальное) значение критерия оптимальности (max, min или конкретное значение);
• записывается математическая формулировка функции цели.

     В общем виде математическая запись функции  цели имеет вид:

F(x)=∑С_jX_j → P      (j€N)

где Р – предельное значение критерия оптимальности (экстремальное значение функции цели). Р может быть равно min, max или определенному числу;

X_j – искомое значение j-й переменной при экстремальном значении функции цели (переменные);

С_j – оценка единицы j-й переменной в единицах критерия оптимальности (коэффициенты функции цели);

N – количество искомых переменных; j – порядковый номер переменной. 

4. Разработка систем  переменных и ограничений 

     В соответствии с постановкой задачи для формирования числовой модели вводится система переменных. Система переменных характеризует совокупность основных искомых характеристик предмета исследования. Возможный перечень переменных зависит от типа решаемой задачи. Целесообразный их перечень определяется исходя из состояния и перспектив развития объекта исследования, подразделяется на группы и раскрывается в табличной форме.

     Исходя  из постановки задачи и, в частности, совокупности установленных наиболее существенных факторов, оказывающих  влияние на результаты решения задачи, а также с учетом введенной  системы переменных разрабатывается  система ограничений. Система ограничений определяет возможные пределы изменения предмета исследования. Возможный перечень ограничений зависит от типа решаемой задачи. Целесообразный и достаточный их перечень определяется состоянием и перспективами развития объекта исследования, подразделяется на группы и раскрывается в виде математических формул.

     В общем виде математическая формулировка системы ограничений выглядит следующим  образом:

                                            =

                                ∑a_ijX_j <= b_i    (j €N, i€M),  Х_j>=0  (j €N)

                                           >=

где а_ij – коэффициент при j-й переменной в i-м ограничении (технико-экономические коэффициенты);

b_i – размер i-го ограничения (свободные члены);

M – количество ограничений;

i – порядковый номер ограничения.

     Элементами  системы ограничений являются наименования ограничений, технико-экономические  коэффициенты при переменных, размеры  и знаки ограничений. Например, площадь пашни в хозяйстве составляет 500 га, на которой можно эффективно выращивать две культуры: ячмень и озимую рожь. Предположим, что хозяйство дало обязательство произвести и продать 450 ц озимой ржи мукомольному предприятию. Урожайность озимой ржи составляет - 15 ц/га. Тогда факторами, определяющими производственную структуру, являются ресурсы пашни и обусловленный обязательствами объем реализации ржи. Тогда, приняв за Х1 площадь посевов ячменя, а за Х2 – площадь посевов озимой ржи в га, имеем систему из двух ограничений: 1) «по размерам ресурсов (пашни)» Х1+Х2<=500 и 2) «по объемам производства продукции (озимой ржи)»: 15Х2>=450. Правые части неравенств (500 и 450) являются размерами ограничений, Х1 и Х2 – переменными, знаки между правыми и левыми частями неравенств (<=,>=) – знаками ограничений, коэффициенты при переменных в первом (1; 1) и втором (0; 15) неравенствах – технико-экономическими коэффициентами.

     Кроме того, при решении  экономических задач  необходимо учитывать  то, что переменные не могут быть отрицательными, то есть: Х1>=0, X2>=0 (это  условие учитывают  при решении задачи на ЭВМ).

     Развернутая математическая формулировка, разработанной выше системы ограничений, выглядит следующим  образом: 1) а₁₁Х1+а₁₂Х2<=b₁, 2) a₂₁X1+а₂₂Х2>=b₂,; Х1>=0; Х2>=0.

     Значения  размеров ограничений и технико-экономических  коэффициентов определяются в процессе сбора, анализа и подготовки системы исходных данных.   

5. Система исходных  данных, числовая  модель и ее  математическая запись 

     Для разработки числовой модели (матрицы ЭММ) предварительно собирается, обобщается и анализируется информация о предмете исследования по результатам работы конкретной организации, подразделения (объекта исследования), а также подготавливается необходимая нормативно-справочная информация. Возможное содержание требуемой информации определяется типом решаемой задачи. Конкретная система исходных данных устанавливается исходя из постановки задачи, заданных систем переменных и ограничений.

     Система исходных данных используется для разработки и обоснования плана перспективного состояния предмета исследования (например, производственно-отраслевой структуры организации, структуры кормового рациона) с целью установления необходимых для построения матрицы экономико-математической модели системы технико-экономических коэффициентов, коэффициентов функции цели и размеров ограничений.

     На  основании систем коэффициентов и ограничений строится числовая модель (матрица) и составляется ее конкретная математическая запись (привести пример).