Языковая семантика

      p является истинным после всех  исполнений a, обозначаемо [a] p.

      Логика  алетических модальностей. Суждения, выражающие необходимость называют аподиктическими, суждения, выражающие действительность – ассерторическими, выражающими возможность – проблематическими. Модальность может быть выражена в суждении явно с помощью оператора, или неявно. Проблематическими модальностями – суждения, которые указывают на положение дел, которое может не существовать фактически, но существование которого не противоречит законам логики или других наук. Ассерторическими считаются суждения, выражающие те или иные фактически существующие обстоятельства или положения вещей. Необходимость выражает соответствие суждения правилам логического вывода. Существует четыре оператора, которые могут быть выражены в символе посредством оператора «необходимо, что» и отрицания:

      «невозможно, что»

      «возможно, что»

      Высказывание  необходимости не может быть ложным не имплицируя противоречия,  предложение  случайности напротив имплицирует  противоречие 

      Интерпретация алетических модальностей с помощью  системы «возможных миров». Пусть  имеется n-количество предметных моделей, которые называют «мирами». Положение в каждом из миров описывается при помощи класса m простых суждений. Разница между мирами заключается в следующем: то, что истинно в одном из них может оказаться ложным в другом. Для каждого суждения из списка m существует область «миров», в которых оно истинно, и область «миров», в которых оно ложно. Один из миров выделяется особо. Он считается моделью действительности. По отношению к этому «действительному миру» остальные оказываются только возможными. В них являются ложными некоторые из тех суждений, которые истинны в «действительном мире». В каждом из возможных миров имеются такие истинные суждения, которые истинны и в «действительном мире».

      При помощи вышеописанной системы «возможных миров» модальности интерпретируются следующим образом:

      Проблематическими являются те, которые истинны хотя бы в одном из «возможных миров». Ассерторические – в «действительном  мире». Аподиктические – истинные во всех «возможных мирах». Если на систему  «возможных миров» наложить модель времени, то «действительный мир» будет соответствовать настоящему моменту времени. Алетические модальности окажется возможным выразить через временные модальности. Необходимым окажется то, что было во все моменты времени. Возможным – то, имело, имеет или будет иметь место хотя бы в один из моментов времени. Действительным то, что имеет место в настоящий момент. На основе такой интерпретации можно сформулировать следующие аксимомы:

      Если  нечто необходимо, то оно действительно; обратное – неверно.

      Если нечто является действительным, то оно возможно; обратное – неверно.

      Если  нечто является необходимым, то оно  возможно; обратное – неверно.

      

      III. Сложные суждения.

      Суждения, образованные посредством пропозициональных  связок образуют универсальное множество  сложных суждений. Пропозициональные  связки делятся на различные классы в соответствии с оператором.

      Суждения, образованные при помощи бинарных операторов. В естественном языке эквивалентами  бинарных операторов выступают грамматические союзы либо равнозначные им выражения  «и», «либо…, либо», «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда» - являются сложными суждениями.

      Операторы сложных суждений могут соединять  простое суждение с простым суждением, простое суждение со сложным суждением, сложное суждение со сложным суждением. Если конструкция суждения включает несколько операторов, то различают между собой главный и подчиненный.

      В зависимости от главного оператора  различают: конъюнктивные (соединительные) суждения вида «А и В», дизъюнктивные (разделительные) суждения вида «А или  В» и «Либо А, либо В», импликативные (условные) суждения вида «Если А, то В», суждения вида «А тогда и только тогда, когда В» называются суждениями эквивалентности. Члены суждения вида «А и В» называются конъюнктами. Члены суждения вида «А или В» и «Либо А, либо В» – дизъюнктами. Члены суждения вида «если А, то В»: «А» называется антецедентом, «В» – консеквентом.  Члены суждения вида «А тогда и только тогда, когда В» собственных названий не имеют.

      Правила истинности значений сложных суждений с бинарным оператором следующие. Конъюнктивное  суждение является истинным тогда и только тогда, когда истинны оба конъюнкта. Дизъюнктивное суждение истинно тогда и только тогда, когда один из дизъюнктов ложен. Импликативное суждение истинно тогда и только тогда, когда консеквент является истинным сцуждением. Суждения эквивалентности истинны тогда и только тогда, когда оба составляющих их суждения истины, или оба они ложны.

      Знаки бинарных операторов:

      вид суждения знак бинарного оператора  название

      «А  и В» конъюнкция

      «А  или В» неисключающе-разделительная дизъюнкция (дизъюнкция)

      «Либо А, либо В» исключающее-разделительная (строгая) дизъюнкция (альтернатива)

      «Если А, то В» импликация

      «А  тогда и только тогда, когда В» эквиваленция

      Семантическая характеристика суждений с бинарным оператором посредством таблицы  истинности значений сложных суждений с бинарным оператором.

      Формулы содержащие только одну переменную

      Формулой  называют функцию высказывания.

      Знаки, которые употребляются в исчислении предложений:

      Переменные  высказывания (p, q, r)

      Логические  константы при высказываниях:

      Знак  отрицания, наклонная черточка над буквой или над целыми скобками, охватывающими предложение. Например, «r^/» или (p<q) ^/. Знак отрицания следует читать «не-r» или «неправда, что r».

      Знаки в середине высказывания: знак импликации «<», следует читать «если, то…»; знак конъюнкции – «·» (так называемое логическое произведение), читается как «и»; знак альтернативы «+» (так называемая логическая сумма), читается как «или»; знак равносильности «=», читается: «всегда и только, если».

      В оборотах соответственно:  «p<q»; «p · q»; « p + q»; « p = q».

      Знаки препинания – скобки, левая, «открывающая», и правая, «закрывающая». Например,((p<q) < (p<q) ^/).

      Матрицы логического отрицания и логических союзов.

      При помощи буквы V обозначим любое истинное предложение, любое ложное предложение обозначим при помощи буквы F.

      Логические  константы и аргумента образуют высказывание, функция которого определяется логическим значением аргумента. Логическим значением аргумента является соответственно истинность или ложность данного  предложения.

      § Матрицы

      Матрицу отрицания: p^/

      Для p, равного V, p^/ становится равным F

      » p,         »          F, p^/              »                »       V

      Матрица импликации

      «p<q»

      pVqV p<qV

      pFqV  p<qV

      pVqF  p<qF

      pFqF   p<qV

      «p + q»

      Матрица альтернативы

      исключающей дизъюнкции

      (альтернатива, истинно тогда, когда один из  дизъюнктов ложен)

      pVqV p+qF

      pFqV  p+qV

      pVqF  p+qV

      pFqF   p+qF

      Матрица неисключающей дизъюнкции

      (ложна  тогда, когда оба дизъюнкта  ложны)

      pVqV p+qV

      pFqV  p+qV

      pVqF  p+qV

      pFqF   p+qF

      Матрица конъюнкции

      «p · q»

      pVqV p · qV

      pFqV  p · qF

      pVqF  p · qF

      pFqF   p · qF

      Матрица эквиваленции

      « p = q»

      (равносильность)

      pVqV p= qV

      pFqV  p=qF

      pVqF  p=qF

      pFqF   p=qV

      A. Тождественно-истинные формулы с одной переменной

      Закон тождества.

      p < p

      «Если p, то p»

      (1)V< V  (2) F< F

           V                                V

      Каждое  предложение имплицирует самое  себя

      Закон исключенного третьего.

      p + p^/

      Два противоречивых высказывания не могут  быть одновременно ложными, одно из них  является истинным.

      p + p^/

      (1)V+V^/      (2)V+F^/

           V+F V+V

             V     V

      Одно  из двух предложений истинно, но не известно какое из них.

      Закон противоречия.

      (p · p^/)^/

      «Неправда, что p и не-p»

      (1) (V·V^/)^/  (2) (F·F^/)^/

            (V·F)^/            (F·V)^/

               F^/                            F^/

              V                V

      Закон двойного отрицания

      (p^/)^/< p

      «Если не правда, что неправда, что p, то p»

      (1) (V^/)^/  < V   (2) (F^/)^/< F

             F^/     < V           V^/< F

               V  < V          F < F

                  V                  V