Геодезические измерения

 

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

1. Понятие о форме и размерах Земли

 

         Физическая поверхность Земли, состоящая из суши и водной поверхности, имеет сложную форму. Суша представляет сочетание низменностей и возвышенностей , высоты которых над уровнем моря достигают 8-9 км.

         Задача определения формы и размеров Земли делится на: установление формы и размеров некоторой типичной фигуры – математической поверхности Земли, изучение отступлений физической поверхности Земли от её математической поверхности. 

          За математическую поверхность Земли принимают уровневую поверхность , которая представляет поверхность воды океанов в ее спокойном состоянии, мысленно продолженную под материки.

Такая фигура называется геоид, а поверхность, ограничивающая ее называется нормальной или уровенной. По форме геоид наиболее близок к эллипсоиду вращения, полученному вращением эллипса вокруг малой оси.

Рассмотрим любую материальную точку А на физической поверхности Земли (рис. 1).

        На эту точку  оказывают влияние две силы: сила  притяжения F_п, направленная к центру Земли, и центробежная сила вращения Земли вокруг своей оси F_ц, направленная от оси вращения по перпендикуляру. Равнодействующая этих сил называется силой тяжести F_т.

          В любой  точке земной поверхности направление  силы тяжести, называемое ещё  вертикальной или отвесной линией, можно легко и просто определить  с помощью уровня или отвеса. Оно играет очень большую роль  в геодезии. По направлению силы  тяжести ориентируется одна из  осей пространственной системы  координат. 

        Если через  точку А построить замкнутую  поверхность, которая в каждой  своей точке будет перпендикулярна  отвесной линии (направлению силы  тяжести), то данную поверхность можно принять в качестве математической при решении некоторых частных задач в геодезии. Такая поверхность получила название уровенной или горизонтальной. Её недостаток в том, что она содержит элемент неопределенности, т.е. через любую точку можно провести свою уровенную поверхность, и таких поверхностей будет бесчисленное множество.

Рис. 1. Геоид  – уровенная поверхность Земли

 

       Для устранения  этой неопределенности при решении  общих геодезических задач принимается  так называемая общая математическая  поверхность, т.е. уровенная поверхность, которая в каждой своей точке совпадает со средним уровнем морей и океанов в момент полного равновесия всей массы воды под влиянием силы тяжести. Такая поверхность носит название общей фигуры Земли или поверхности геоида.

Геоид – выпуклая замкнутая поверхность, совпадающая с поверхностью воды в морях и океанах в спокойном состоянии и перпендикулярная к направлению силы тяжести в любой её точке (см. рис. 1).

Из-за неравномерного распределения  масс внутри Земли геоид не имеет  правильной геометрической формы, и  в математическом отношении его  поверхность характеризуется слишком  большой сложностью. Поэтому там, где это допустимо, поверхность  геоида заменяется приближенными математическими  моделями, в качестве которых принимается  в одних случаях земной сфероид, в других – земной шар, а при топографическом изучении незначительных по размеру территорий – горизонтальная плоскость, т.е. плоскость, перпендикулярная к вертикальной линии в данной точке.

Земной сфероид –  эллипсоид вращения получается вращением эллипса вокруг его малой оси b (см. рис. 1), совпадающей с осью вращения Земли, причем центр эллипсоида совмещается с центром Земли.

Размеры земного эллипсоида, в м:

, где  - коэффициент сжатия

Так, как  - невелико, форму Земли можно принимать за шар:

Такой эллипсоид называют референц-эллипсоидом Красовского. Его поверхность отклоняется от уровенной на величину не более 150 м.

 

2. Методы  проекций в геодезии

 

Пусть прямоугольник ABCDE рис.2 представляет часть земной поверхности. Возьмем плоскость PQ и опустим из каждой вершины многоугольника перпендикуляры на эту плоскость. Основания этих перпендикуляров обозначим соответственно через a,b,c,d,e. Полученные на плоскости точки называются ортогональными (прямоугольными) проекциями точек пространства; линии ab, bc,… называются ортогональными проекциями линий AB, BC, …, а углы abc, bcd, …- ортогональной проекцией пространственного многоугольника ABCDE.

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Ортогональная проекция

Другая проекция называется центральной. Её суть заключается в следующем. Возьмем произвольную т. О рис.3 и соединим ее  со всеми вершинами многоугольника ABCDE, находящегося  на земной поверхности.

 
 
 
 
 
 
                                              О 
                       Рис. 3. Центральная проекция

Полученные в пересечении с  горизонтальной плоскостью PQ точки abcde и будут центральными проекциями точек ABCDE. Плоский многоугольник abcde называется центральной проекцией многоугольника  ABCDE.

 

3. Определение положения точек на земной поверхности

 

        Положение  точек на земной поверхности  может быть определено в различных  системах координат. Геодезические координаты определяют положение точки земной поверхности на референц-эллипсоиде (рис.4). Геодезическая широта B – угол, образованный нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью его экватора. Широта отсчитывается от экватора к северу или югу от 0° до 90° и соответственно называется северной или южной широтой.

Рис. 4. Система геодезических координат

 

Геодезическая долгота L – двугранный угол между плоскостями геодезического меридиана данной точки и начального геодезического Гринвичского меридиана.

Долготы точек, расположенных к востоку  от начального меридиана, называются восточными, а к западу – западными.

        Географические координаты – величины, обобщающие две системы координат: геодезическую и астрономическую, используют в тех случаях, когда отклонение отвесных линий от нормали к поверхности не учитывается (рис.5).

Рис. 5. Система географических координат

Географическая  широта j – угол, образованный отвесной линией в данной точке и экваториальной плоскостью.

Географическая  долгота l – двугранный угол между плоскостями меридиана данной точки с плоскостью начального меридиана.

        При решении инженерно-геодезических задач в основном применяют плоскую прямоугольную геодезическую и полярную системы координат.

Для определения  положения точек в плоской  прямоугольной геодезической системе  координат используют горизонтальную координатную плоскость ХОУ (рис. 6), образованную двумя взаимно перпендикулярными прямыми. Одну из них принимают за ось абсцисс X, другую – за ось ординат Y, точку пересечения осей О – за начало координат.

Рис. 6. Плоская прямоугольная система координат

 

Изучаемые точки проектируют с математической поверхности Земли на координатную плоскость ХОУ. Так как сферическая поверхность не может быть спроектирована на плоскость без искажений (без разрывов и складок), то при построении плоской проекции математической поверхности Земли принимается неизбежность данных искажений, но при этом их величины должным образом ограничивают. Для этого применяется равноугольная картографическая проекция Гаусса – Крюгера (проекция названа по имени немецких ученых, предложивших данную проекцию и разработавших формулы для её применения в геодезии), в которой математическая поверхность Земли проектируется на плоскость по участкам – зонам, на которые вся земная поверхность делится меридианами через 6° или 3°, начиная с начального меридиана (рис. 7).

Рис. 7. Деление математической поверхности Земли на шестиградусные зоны

В пределах каждой зоны строится своя прямоугольная  система координат. С этой целью  все точки данной зоны проецируются на поверхность цилиндра (рис. 8, а), ось которого находится в плоскости экватора Земли, а его поверхность касается поверхности Земли вдоль среднего меридиана зоны, называемого осевым. При этом соблюдается условие сохранения подобия фигур на земле и в проекции при малых размерах этих фигур.

Рис. 8. Равноугольная картографическая проекция Гаусса – Крюгера (а) и зональная система координат (б):

1 – зона, 2 – координатная сетка, 3 – осевой  меридиан, 4 – проекция экватора  на поверхность цилиндра, 5 – экватор,

6 – ось  абсцисс – проекция осевого  меридиана, 7 – ось ординат –  проекция экватора

После проектирования точек зоны на цилиндр, он развертывается на плоскость, на которой изображение  проекции осевого меридиана и  соответствующего участка экватора будет представлена в виде двух взаимно  перпендикулярных прямых (рис. 8, б). Точка пересечения их принимается за начало зональной плоской прямоугольной системы координат, изображение северного направления осевого меридиана – за положительную ось абсцисс, а изображение восточного направления экватора – за положительное направление оси ординат.

Для всех точек на территории нашей страны абсциссы имеют положительное значение. Чтобы ординаты точек также были только положительными, в каждой зоне ординату начала координат принимают  равной 500 км (рис. 8, б). Таким образом, точки, расположенные к западу от осевого меридиана, имеют ординаты меньше 500 км, а к востоку – больше 500 км. Эти ординаты называют преобразованными.

На границах зон в пределах широт от 30°  до 70° относительные ошибки, происходящие от искажения длин линий в этой проекции, колеблются от 1 : 1000 до 1 : 6000. Когда такие ошибки недопустимы, прибегают к трехградусным зонам.

На картах, составленных в равноугольной картографической проекции Гаусса – Крюгера, искажения длин в различных точках проекции различны, но по разным направлениям, выходящим из одной и той же точки, эти искажения будут одинаковы. Круг весьма малого радиуса, взятый на уровенной поверхности, изобразится в этой проекции тоже кругом. Поэтому говорят, что рассматриваемая проекция конформна, т. е. сохраняет подобие фигур на сфере и в проекции при весьма малых размерах этих фигур. Таким образом, изображения контуров земной поверхности в этой проекции весьма близки к тем, которые получаются.

Четверти  прямоугольной системы координат  нумеруются. Их счет идет по ходу стрелки  от положительного направления оси  абсцисс (рис.9).

Рис. 9. Четверти прямоугольной системы координат

Если  за начало плоской прямоугольной  системы координат принять произвольную точку, то она будет называться относительной  или условной.

      При выполнении съемочных и разбивочных геодезических работ часто применяют полярную систему координат (рис.10). Она состоит из полюса О и полярной оси ОР, в качестве которых принимается прямая с известным началом и направлением.

Рис. 10. Полярная система координат

Для определения  положения точек в данной системе  используют линейно-угловые координаты: угол β, отсчитываемый по часовой стрелке от полярной оси ОР до направления на горизонтальную проекцию точки А', и полярное расстояние r от полюса системы О до проекции А'.

       Высота точки является третьей координатой, определяющей её положение в пространстве.

В геодезии для определения отметок точек  применяются следующие системы  высот (рис.11):

• ортометрическая (абсолютная);
• геодезическая;
• нормальная (обобщенная);
• относительная (условная).

Рис. 11. Системы высот в геодезии

Ортометрическая (абсолютная) высота H_о – расстояние, отсчитываемое по направлению отвесной линии от поверхности геоида до данной точки.

Геодезическая высота H_г – расстояние, отсчитываемое по направлению нормали от поверхности референц-эллипсоида до данной точки.

В нашей  стране все высоты реперов государственной  нивелирной сети определены в нормальной системе высот. Это связано с  тем, что положение геоида под  материками определить сложно. Поэтому  с конца 40-х годов в СССР было принято решение не применять  ортометрическую систему высот.

В нормальной системе высот отметка точки H_н отсчитывается по направлению отвесной линии от поверхности квазигеоида, близкой к поверхности геоида.

Квазигеоид («якобы геоид») – фигура, предложенная в 1950-х г.г. советским учёным М.С. Молоденским в качестве строгого решения задачи определения фигуры Земли. Квазигеоид определяется по измеренным значениям потенциалов силы тяжести согласно положениям теории М.С. Молоденского.