Азимутальные проекции

     Азимутальные  проекции.

     В азимутальных проекциях земная поверхность  принимается за поверхность шара с радиусом R.

     В прямых азимутальных проекциях (рис. 29) меридианы изображаются прямыми  линиями, сходящимися в одной  точке. Углы δ между меридианами равны разности долгот λ соответствующих меридианов на земном шаре (δ = λ). Параллели изображаются концентрическими окружностями, проведенными радиусами ρ₁, ρ₂, ρ₃. . . из точки схода меридианов, как из центра.

     

     Рис. 29. Картографическая сетка в прямой азимутальной проекции.

     В этих проекциях вычисляются полярные координаты δ и ρ₁, ρ₂, ρ₃. Полюс полярных координат (z₀) находится в точке схода меридианов. За полярную ось принимают один из меридианов. Радиус параллелей ρ зависит от широты, т. е. ρ = f/(φ). Формулы для вычисления ρ различны в зависимости от того условия, которое ставится перед проекцией, т. е. какую проекцию, равноугольную, равновеликую или произвольную требуется получить. Главные направления совпадают с меридианами и параллелями, поэтому масштаб по меридианам т будет наибольший и по параллелям п наименьший.

     Вычисление  полярной азимутальной проекции производится по следующим формулам:

     1) вычисление полярных координат

     

     2) вычисление прямоугольных координат

     

     3) вычисление искажений

     

     

     

     

     

     Рис. 30. Размещение вертикалов и альмукантаратов (показаны пунктиром) в азимутальной проекции:

     а – косой, б – поперечной

     Кроме прямых (полярных) азимутальных проекций, имеются еще поперечные (экваториальные) и косые (горизонтальные) азимутальные проекции.

     В косых и поперечных проекциях  меридианы и параллели изображаются кривыми линиями, кроме меридиана  полюса полярной системы координат, который изображается прямой линией и является осью симметрии проекции. Полюс азимутальных координат не совпадает с точкой схода меридианов, как в прямых проекциях. В этих проекциях полюс будет в точке z₀ с координатами φ₀ и λ₀.

     В косых и поперечных азимутальных проекциях применяют систему сферических полярных координат, где а – азимут и z – зенитное расстояние. Если полюс z₀ удален от полюса географического Р на 90°, то получим поперечные (экваториальные) азимутальные проекции; если же полюс z₀ находится от географического полюса на расстоянии, большем 0° и меньшем 90°, то будем иметь косую (горизонтальную) проекцию. Когда оба эти полюса совпадают, имеем прямую (полярную) проекцию.

     Если  вычислить координаты точек с  учетом размещения точки z₀ как центра, то в проекции прямые линии, сходящиеся к центру, будут не меридианами, а вертикалами. Окружности, проведенные из точки схода вертикалов, как из центра, будут не параллелями, а альмукантаратами. Нормальная сетка в данном случае не совпадает с основной сеткой. Главные направления не совпадают с направлением меридианов и параллелей (т. е. с географической сеткой).

     На  рис. 30 показано размещение вертикалов и альмукантаратов (пунктиром) по отношению  к меридианам и параллелям.

     Косые и поперечные проекции вычисляют  по тем же формулам, что и прямые проекции, но долгота λ заменяется азимутом α и широта φ заменяется значением 90° – z (где z – зенитное расстояние).

     По  свойствам изображения азимутальные проекции могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными.

 

      Стереографические перспективные проекции.

     В стереографических проекциях точка  зрения помещается на поверхности земного  шара, а картинная плоскость перпендикулярна  к среднему лучу зрения. По свойствам  изображения стереографические  проекции являются равноугольными (конформными); не только бесконечно малые, но и любые по размерам круги в этих проекциях изображаются также кругами. В зависимости от положения картинной плоскости относительно шара проекции эти делятся на прямые (полярные), поперечные (экваториальные) и косые (горизонтальные).

     Прямые (полярные) стереографические  проекции. В прямых стереографических проекциях картинная плоскость параллельна плоскости экватора. Меридианы в прямых проекциях изображаются прямыми, сходящимися в центре. Параллели изображаются концентрическими окружностями, проведенными из точки схода меридианов, как из центра. Расстояния между параллелями уменьшаются по мере приближения от экватора к полюсу (рис. 39).

     

     Рис. 39. Картографическая сетка в прямой стереографической  проекции (изоколы масштабов площадей показаны пунктиром)

     Поперечные (экваториальные) стереографические  проекции. В поперечных стереографических проекциях картинная плоскость совпадает с плоскостью какого-нибудь меридиана. Меридианы изображаются дугами окружностей. Средний меридиан – прямой. При одинаковой разности долгот расстояния между меридианами не равны; они увеличиваются по мере удаления на восток и на запад от среднего меридиана. Параллели изображаются также дугами окружностей. При постоянной разности широт расстояния между параллелями не одинаковы и возрастают по мере удаления от экватора к полюсам. Вид сетки дан на рис. 40.

     

     Рис. 40. Картографическая сетка в поперечной (экваториальной) стереографической  проекции (изоколы масштабов площадей показаны пунктиром).

     Косые (горизонтальные) стереографические  проекции. Картинная плоскость в косых стереографических проекциях параллельна горизонту какой-нибудь точки. Меридианы и параллели изображаются кривыми линиями, представляющими собой дуги окружности (рис. 41).

     

     Рис. 41. Вид сетки косой (горизонтальной) стереографической  прокции.

     Стереографические проекции используются для астрономических  карт благодаря своему свойству изображать как бесконечно малые, так и конечные окружности земного шара также окружностями на проекции. Применяются стереографические проекции и для карт отдельных территорий.

     Масштабы  длин в стереографических проекциях  увеличиваются от центра к краям  и зависят от зенитного расстояния z.

     В центре проекции масштаб длин равен единице, затем к краям проекции увеличивается и на краях проекции равен двум. Масштаб длин по всем направлениям в данной точке одинаков. Бесконечно малый кружок, взятый на поверхности земного шара, изображается в стереографических проекциях кружками, различными по площади.) В центре проекции эти кружки по площади равны кругу земного шара, затем их площади увеличиваются, достигая на краях проекции увеличения в четыре раза.

     Центральные или гномонические, перспективные проекции

     В центральных (гномонических) проекциях точка зрения находится в центре земного жара, а картинная плоскость берется касательной к шару в какой-нибудь точке.

     В зависимости от положения картинной  плоскости центральные проекции делятся на три группы: полярные, экваториальные и горизонтальные.

     На  центральных проекциях ортодромия (кратчайшее расстояние между двумя  точками на земном шаре) изображается прямой линией. Это свойство определяется тем, что точка зрения помещается в центре и дает проекцию больших  кругов, которые проходят через центр в виде прямых линий, а ортодромия представляет собой дугу большого круга на шаре. Благодаря этому свойству центральная проекция находит применение для карт звездного неба и карт, предназначенных для мореплавания и авиации.

     По  свойствам изображения эти проекции относятся к группе произвольных. Масштаб меняется при переходе из одной точки в другую и различен в одной точке по разным направлениям. Только в центре проекции частные масштабы по различным направлениям из одной точки равны. К краям проекции частные масштабы увеличиваются, достигая на краях бесконечности.

     Бесконечно  малый кружок земного шара изображается на проекции в центре кружком, равновеликим по площади; на остальных участках кружки изображаются эллипсами, вытянутыми в  направлении радиусов проекции.

     Центральные перспективные проекции строят по прямоугольным  координатам.

     Частными  случаями этих проекций в зависимости  от положения картинной плоскости  являются следующие проекции.

     

     Рис. 42. Картографическая сетка в центральной  проекции:

     а – прямой, б –  поперечной, в –  косой.

     Прямая (полярная) центральная  проекция. Картинная плоскость касается полюса, а географическая сетка совпадает с нормальной сеткой. Меридианы изображаются прямыми линиями, сходящимися к центру под равными углами, а параллели – концентрическими окружностями, проведенными из точки схода меридианов, как из центра. При постоянной заданной разности широт расстояние между параллелями не одинаково; оно увеличивается при удалении от полюса к экватору. Вид картографической сетки прямой центральной проекции дан на рис. 42, а.

     Поперечная (экваториальная) центральная  проекция (рис. 42, б). Картинная плоскость касается земного шара в какой-нибудь точке, экватора. Меридианы изображаются прямыми параллельными оси X линиями, расстояния между меридианами не одинаковы и увеличиваются по мере удаления от осевого меридиана. Параллели изображаются кривыми линиями (гиперболами), а экватор – прямой линией.

     Косая (горизонтальная) центральная  проекция (рис. 42, в). Картинная плоскость касается земного шара в произвольно взятой точке. Меридианы в косой центральной проекции изображаются прямыми линиями, сходящимися в одной точке; экватор – прямой линией, перпендикулярной к осевому меридиану, а остальные параллели – кривыми линиями. Если точка горизонта будет иметь широту φ₀, то параллели меньше 90° – φ₀ изобразятся гиперболами, параллель 90° – φ₀ будет представлять параболу, а параллели больше 90° – φ₀ будут эллипсами.