Типовые динамические звенья систем управления

,

(3.34)

 
где   – постоянная времени, характеризующая инерционность звена;  
 – относительный коэффициент демпфирования, характеризующий колебательность звена 

Передаточная функция  колебательного звена

,

(3.35)

 
а корни соответствующего характеристического  уравнения равны

,

(3.36)

 
где   – коэффициент затухания;   – круговая частота затухающих колебаний в рад/с.

Переходная функция колебательного звена с учетом найденных значений корней   определится как

.

(3.37)

В (3.37)  .

Свободная составляющая переходной функции (рис. 3.5, а) представляет собой синусоиду, амплитуда которой убывает по экспоненте (пунктирная линия). Период затухающих колебаний равен

.

(3.38)

Если коэффициент демпфирования   при  , то на выходе звена после подачи единичного ступенчатого воздействия возникают незатухающие колебания с частотой  .

Скорость затухания колебательных  переходных процессов принято оценивать степенью затухания

,

представляющей собой  отношение разности двух соседних амплитуд к первой из них.

Если в выражение для  переходной функции (3.37) подставить два  значения  , отличающиеся на период затухающих колебаний  , то получим

.

(3.39)

Отношение   называют степенью колебательности .

А.ф.х. колебательного звена (рис. 3.5, е) описывается уравнением

.

(3.40)

Уравнению (3.40) соответствует  а.ч.х. (рис. 3.5, в)

(3.41)

и ф.ч.х. (рис. 3.5, г)

(3.42)

А.ч.х. на частоте   имеет резонансный пик, равный

.

(3.43)

 

Рис. 3.5. Характеристики колебательного звена второго порядка

Резонансный пик существует, если  . Чем меньше  , тем ближе резонансная частота   к собственной частоте незатухающих колебаний   и тем больше резонансный пик. Колебательное звено, как и все инерционные звенья, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо – сигналы высокой частоты.

3.5. Интегрирующие  звенья

Интегрирующие звенья подразделяются на идеальные и реальные. Общим свойством этих звеньев является пропорциональность производной от выходной величины мгновенному значению входной величины. У реального интегрирующего звена пропорциональность устанавливается после завершения переходного процесса в звене.

Рис. 3.6. Характеристики идеального (1) и  реального (2) интегрирующих звеньев

Идеальному интегрирующему звену соответствует уравнение

.

(3.44)

Уравнению (3.44) соответствует  интегральное уравнение

,

(3.45)

из которого видно, что звено интегрирует входной сигнал.

Переходную функцию получим  из (3.45), полагая   (рис. 3.6, а):

.

(3.46)

Импульсная переходная функция  идеального интегрирующего звена (рис. 3.6, б)

.

(3.47)

Передаточная функция  идеального интегрирующего звена

.

(3.48)

А.ф.х. идеального звена

(3.49)

на комплексной плоскости (рис. 3.6, е) представляет собой прямую, совпадающую с мнимой осью.

А.ч.х. (рис. 3.6, в)

(3.50)

является гиперболой, стремящейся  к бесконечности при  .

Ф.ч.х. идеального интегрирующего звена (рис. 3.6, г)

(3.51)

свидетельствует, что фазовый  сдвиг не зависит от частоты и  равен  .

Л.а.ч.х. представляет собой прямую с наклоном –20 дБ/декаду и проходит через точки  ;   (рис. 3.6, д):

.

(3.52)

Дифференциальное уравнение  реального интегрирующего звена

,

(3.53)

а передаточная функция

.

(3.54)

Звено с передаточной функцией (3.54) может рассматриваться как  последовательное соединение идеального интегрирующего звена с передаточной функцией   и статического инерционного звена первого порядка с постоянной времени   и коэффициентом передачи  . Все частотные характеристики реального интегрирующего звена могут быть получены по правилам перемножения комплексных величин.

3.6. Дифференцирующие  звенья

Дифференцирующие звенья подразделяются на идеальные (безынерционные) и реальные (инерционные). Значение выходной величины идеального дифференцирующего звена в каждый момент времени пропорционально мгновенному значению первой производной от входной величины:

.	(3.55)
Рис. 3.7. Характеристики идеального (1) и  реального (2) дифференцирующих звеньев

Переходная функция (рис. 3.7, а) определяется дифференцированием единичной ступенчатой функции   и подстановкой в (3.55):

.

(3.56)

Импульсная переходная функция (рис. 3.7, б)

.

(3.57)

Передаточная функция  звена

.

(3.58)

Амплитудно-фазовая функция (рис. 3.7, е) совпадает с положительной мнимой осью и описывается выражением

.

(3.59)

Амплитудно-частотная функция (рис. 3.7, в)

(3.60)

показывает, что амплитуда  выходного сигнала возрастает пропорционально  частоте входного сигнала.

Фазовый сдвиг на всех частотах одинаков:

.

(3.61)

Л.а.ч.х. звена

(3.62)

представляет собой прямую линию с наклоном +20дБ/декаду, проходящую через точку с координатами  ,   (рис. 3.7, д).

Реальное дифференцирующее звено можно рассматривать как  последовательное соединение идеального дифференцирующего звена и инерционного звена первого порядка. Передаточная функция реального дифференцирующего  звена

.

(3.63)

Временные характеристики   и   реального дифференцирующего звена представлены на рис. 3.7, а, б. Выражения для частотных характеристик могут быть получены из передаточной функции обычным способом. Частотные характеристики представлены на рис. 3.7.

3.7. Звено  запаздывания

Звеном запаздывания называется звено, передающее сигнал со входа на выход без искажения его формы, но с некоторой задержкой   во времени. Наиболее распространенным в практике автоматических систем является транспортное запаздывание, обусловленное пространственным перемещением элементов, передающих информацию (например, транспортерная лента, полоса прокатываемого металла). К статическим устройствам запаздывания можно отнести различного рода линии задержки электронного или параметрического типа.

В некоторых случаях звено  запаздывания вводится при расчете  системы условно. Для ряда объектов уравнение динамики неизвестно, поэтому  кривую переходного процесса реального  объекта при единичном входном  воздействии аппроксимируют экспонентой  и эквивалентным запаздыванием.

Уравнение звена запаздывания

(3.64)

не является дифференциальным и относится к классу особых уравнений  со смещенным аргументом.

Рис. 3.8. Характеристики звена запаздывания

Подстановкой в уравнение  звена значения входной величины   получим его переходную функцию:

,

(3.65)

а подстановкой   – импульсную:

.

(3.66)

Временные характеристики звена  запаздывания показаны на рис. 3.8, а, б.

На основании теоремы  запаздывания запишем уравнение (3.64) в изображениях по Лапласу:

(3.67)

и определим передаточную функцию звена как

.

(3.68)

А.ф.х. звена

(3.69)

 
является окружностью единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3.8, е).

Амплитудная частотная и  фазовая частотная характеристики определяются выражениями:

;

(3.70)

 

.

(3.71)

Звенья запаздывания ухудшают устойчивость систем и делают их трудно управляемыми.

Звено запаздывания определяет трансцендентный характер характеристического  уравнения системы. Для приведения характеристического уравнения  к алгебраической форме трансцендентную  передаточную функцию звена раскладывают в ряд Пада и приближенно заменяют ее двумя или тремя членами ряда:

(3.72)

или

.

(3.73)