Системы счисления

Система счисления(далее  СС) - совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. 
Наиболее известна десятичная СС, в которой для записи чисел используются цифры 0,1,…,9. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения СС должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
• единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
• простоту оперирования числами;

В зависимости  от способов изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционной системой называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления). Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления). Количество знаков или символов, используемых для изображения числа, называется основанием системы счисления.

На практике также используют другие СС:

Каждая  СС имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо операции над  числами, надо помнить о СС, в которой  они представлены. 
Если основание системы q превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают прописными буквами латинского: A,B,...,Z. При этом цифре 10 соответствуею знак 'A', цифре 11 - знак 'B' и т.д. В таблице ниже приводятся десятичные числа от 0 до 15 и их эквивалент в различных СС

Результатом является целое число. 
Из десятичной системы счисления - в двоичную и шестнадцатеричную:

1. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;
2. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);
3. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;
4. формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.

Пример 3.1. Выполинить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

Пример 3.2. Выполнить перевод числа 19 в  шестнадцатеричную систему счисления: 

2. Из двоичной и  шестнадцатеричной  систем счисления  - в десятичную. В  этом случае рассчитывается  полное значение  числа по формуле. 
 
Пример 3.3. Выполнить перевод числа 13₁₆ в десятичную систему счисления. Имеем: 
13₁₆ = 1*16¹ + 3*16⁰ = 16 + 3 = 19. 
Таким образом, 13₁₆ = 19. 
 
Пример 3.4. Выполнить перевод числа 10011₂ в десятичную систему счисления. Имеем: 
10011₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16+0+0+2+1 = 19. 
Таким образом, 10011₂ = 19 

3. Из двоичной системы  счисления в шестнадцатеричную: 

1. исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;
2. каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей

Пример 3.5. Выполнить перевод числа 10011₂ в шестнадцатеричную систему счисления.  
Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр.Имеем:

В соответствии с таблицей 0011₂ = 11₂ = 3₁₆ и 0001₂ = 1₂ = 1₁₆. Тогда 10011₂ = 13₁₆.

           4. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную: 

1. каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;
2. незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Пример  3.6. Выполнить перевод числа 13₁₆ в двоичную систему счисления.  
По таблице имеем: 1₁₆ = 1₂ и после дополнения незначащими нулями 1₂ = 0001₂; 3₁₆ = 11₂ и после дополнения незначащими нулями 11₂ = 0011₂. Тогда 13₁₆ = 00010011₂. После удаления незначащих нулей имеем 13₁₆ = 10011₂. 
 
 
 
 
 

                                                            Содержание.

Система счисления................................................................................................2

Пример 3.1 …………….........................................................................................3

Пример 3.2 .............................................................................................................3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                          Список использованной литературы.

1. http://www.gmcit.murmansk.ru
2. http://kuzelenkov.narod.ru