Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера

© К. Поляков, 2009-2011

А1 (базовый уровень, время – 1 мин)

Тема:  Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера.

Что нужно знать:

• перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления (см. презентацию «Системы счисления»)

Полезно помнить, что в двоичной системе: четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1; числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа, которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей если число N принадлежит интервалу 2k-1 £ N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125: 26 = 64 £ 125 < 128 = 27,    125 = 11111012  (7 цифр) числа вида 2k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например: 16 = 24 = 100002 числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц, например: 15 = 24-1 = 11112 если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:   15 = 11112,  30 = 111102,         60 = 1111002,  120 = 11110002

• отрицательные целые числа хранятся в памяти в двоичном дополнительном коде (подробнее см. презентацию «Компьютер изнутри»)
• для перевода отрицательного числа (-a) в двоичный дополнительный код нужно сделать следующие операции:
• перевести число a-1 в двоичную систему счисления
• сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки (см. пример далее)

Пример задания:

Сколько единиц в двоичной записи числа 1025?

1) 1            2)  2       3)  10  4) 11

Решение (вариант 1, прямой перевод):

1. переводим число 1025 в двоичную систему: 1025 = 10000000001₂
2. считаем единицы, их две
3. Ответ: 2

Возможные проблемы: легко запутаться при переводе больших  чисел.

Решение (вариант 2, разложение на сумму степеней двойки):

1. тут очень полезно знать наизусть таблицу степеней двойки, где 1024 = 2¹⁰ и 1 = 2⁰
2. таким образом, 1025=  1024 + 1 = 2¹⁰ + 2⁰
3. вспоминая, как переводится число из двоичной системы  в десятичную (значение каждой цифры умножается на 2 в степени, равной её разряду), понимаем, что в двоичной записи числа ровно столько единиц, сколько в приведенной сумме различных степеней двойки, то есть, 2
4. Ответ: 2

Возможные проблемы: нужно помнить таблицу степеней двойки.

Когда удобно использовать: когда число чуть больше какой-то степени двойки

 

Ещё пример задания:

Дано: и . Какое из чисел с, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a < c < b?   

1) 11011001₂            2) 11011100₂          3) 11010111₂          4) 11011000₂

Общий подход:

перевести все числа (и исходные данные, и ответы) в одну (любую!) систему счисления и сравнить.

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

7. переводим в десятичную систему все ответы:

11011001₂ = 217, 11011100 ₂= 220, 11010111₂ = 215, 11011000₂=216 

8. очевидно, что между числами 215 и 217 может быть только 216
9. таким образом, верный ответ – 4 .

Возможные проблемы: арифметические ошибки при переводе из других систем в десятичную.

Решение (вариант 2, через двоичную систему):

1. (каждая цифра шестнадцатеричной системы отдельно переводится в четыре двоичных – тетраду);
2. (каждая цифра восьмеричной системы отдельно переводится в три двоичных – триаду, старшие нули можно не писать);
3. теперь нужно сообразить, что между этими числами находится только двоичное число 11011000₂ – это ответ 4.

 

Возможные проблемы: запись двоичных чисел однородна, содержит много одинаковых символов – нулей и единиц, поэтому легко  запутаться и сделать ошибку.

Решение (вариант 3, через  восьмеричную систему):

1. (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на триады справа налево, каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, так как для чисел от 0 до 7 их восьмеричная запись совпадает с десятичной);
2. ,  никуда переводить не нужно;
3. переводим в восьмеричную систему все ответы:

11011001₂ = 011  011  001₂  = 331₈ (разбили на триады справа налево, каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, как в п. 1) 

11011100 ₂= 334₈, 11010111₂ = 327₈, 11011000₂=330₈

4. в восьмеричной системе между числами 327₈ и 331₈ может быть только 330₈
5. таким образом, верный ответ – 4 .

 

Возможные проблемы: нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 7 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении).

Решение (вариант 4, через  шестнадцатеричную систему):

1. никуда переводить не нужно;
2. (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели в шестнадцатеричную систему; при этом тетрады можно переводить из двоичной системы в десятичную, а затем заменить все числа, большие 9, на буквы – A, B, C, D, E, F);
3. переводим в шестнадцатеричную систему все ответы:

11011001₂ = 1101 1001₂  = D9₁₆ (разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели отдельно в десятичную систему, все числа, большие 9, заменили  на буквы – A, B, C, D, E, F, как в п. 1) 

11011100 ₂= DC₁₆, 11010111₂ = D7₁₆, 11011000₂=D8₁₆

4. в шестнадцатеричной системе между числами D7₁₆ и D9₁₆ может быть только D8₁₆
5. таким образом, верный ответ – 4 .

Возможные проблемы: нужно помнить двоичную запись чисел  от 0 до 15 (или переводить эти числа  в двоичную систему при решении).

Выводы:

• есть несколько способов решения, «каждый выбирает для себя»;
• наиболее сложные вычисления – при переводе всех чисел в десятичную систему, можно легко ошибиться;
• сравнивать числа в двоичной системе сложно, также легко ошибиться;
• видимо, в этой задаче наиболее простой вариант – использовать восьмеричную систему, нужно просто запомнить двоичные записи чисел от 0 до 7 и аккуратно все сделать;
• в других задачах может быть так, что выгоднее переводить все в десятичную или шестнадцатеричную систему счисления.

Еще пример задания:

Для хранения целого числа  со знаком используется один байт. Сколько  единиц содержит внутреннее представление  числа (-78)?

1) 3            2)  4           3)  5  4) 6

Решение (вариант 1, классический):

1. переводим число 78 в двоичную систему счисления:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 2⁶ + 2³ + 2² + 2¹ = 1001110₂

2. по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
3. чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

78 = 01001110₂

4. делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

01001110₂     →    10110001₂ 

5. добавляем к результату единицу

10110001₂  + 1 = 10110010₂

это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде

6. в записи этого числа 4 единицы
7. таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные ловушки и проблемы: нужно не забыть в конце добавить единицу, причем это может быть не так тривиально, если будут переносы в следующий разряд – тут тоже есть шанс ошибиться из-за невнимательности

Решение (вариант 2, неклассический):

1. переводим число 78 – 1=77 в двоичную систему счисления:

77 = 64 + 8 + 4 + 1 = 2⁶ + 2³ + 2² + 2⁰ = 1001101₂

2. по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
3. чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

77 = 01001101₂

4. делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

01001101₂     →    10110010₂ 

это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде

5. в записи этого числа 4 единицы
6. таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные ловушки и проблемы: нужно помнить, что в этом способе в двоичную систему переводится не число a, а число   a-1; именно этот прием позволяет избежать добавления единицы в конце (легче вычесть в десятичной системе, чем добавить в двоичной)

Решение (вариант 3, неклассический):

1. переводим число 78 в двоичную систему счисления:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 2⁶ + 2³ + 2² + 2¹ = 1001110₂

2. по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
3. чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

78 = 01001110₂

4. для всех битов, которые стоят слева от младшей единицы, делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

01001110₂     →    10110010₂ 

это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде

5. в записи этого числа 4 единицы
6. таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные ловушки и проблемы: нужно помнить, что при инверсии младшая единица и все нули после нее не меняются

 

 

Задачи для тренировки¹:

1. Как представлено число 83₁₀ в двоичной системе счисления?

1)  1001011₂ 2) 1100101₂  3) 1010011₂  4) 101001₂

2. Сколько единиц в двоичной записи числа 195?

1)  5 2) 2 3) 3  4) 4

3. Сколько единиц в двоичной записи числа 173?

1)  7 2) 5 3) 6  4) 4

4. Как представлено число 25 в двоичной системе счисления?

1)  1001₂  2) 11001₂  3) 10011₂  4) 11010₂

5. Как представлено число 82 в двоичной системе счисления?

1)  1010010₂ 2) 1010011₂  3) 100101₂  4) 1000100₂

6. Как представлено число 263 в восьмеричной системе счисления?

1)  301₈  2) 650₈  3) 407₈  4) 777₈

7. Как записывается число 567₈ в двоичной системе счисления?

1)  1011101₂ 2) 100110111₂  3) 101110111₂  4) 11110111₂

8. Как записывается число A87₁₆ в восьмеричной системе счисления?

1)  435₈  2) 1577₈  3) 5207₈   4) 6400₈

9. Как записывается число 754₈ в шестнадцатеричной системе счисления?

1)  738₁₆  2) 1A4₁₆  3) 1EC₁₆   4) A56₁₆

10. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-128)?

1) 1            2)  2           3)  3  4) 4

11. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-35)?

1) 3            2)  4           3)  5  4) 6

12. Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 10011010₂            2)  10011110₂           3)  10011111₂  4) 11011110₂

13. Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?