Система счисления

1.Система  счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

1.Даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);

2.Даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

3.Отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел. 

2.Системы счисления подразделяются на:

1.Позиционные

2.Непозиционные

3.Смешанные.

Чем больше основание системы счисления, тем  меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа в позиционных системах счисления. 

2.1 Позиционные системы счисления

В позиционных  системах счисления один и тот  же числовой знак (цифра) в записи числа  имеет различные значения в зависимости  от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Под позиционной  системой счисления обычно понимается b-ричная система счисления, которая определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:

, где ak —  это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству .

Каждая степень bk в такой записи называется весовым  коэффициентом разряда. Старшинство  разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k (номером разряда). Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра an − 1 в b-ричном представлении x была также ненулевой.

Если не возникает разночтений (например, когда  все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо: 

Например, число  сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

Наиболее  употребляемыми в настоящее время  позиционными системами являются:

1 — единичная[1] (счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.);

2 — двоичная (в дискретной математике, информатике,  программировании);

3 — троичная;

4 — четверичная;

5 — пятеричная;

8 — восьмеричная;

10 — десятичная (используется повсеместно);

12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);

16 — шестнадцатеричная  (используется в программировании, информатике);

60 — шестидесятеричная  (единицы измерения времени, измерение  углов и, в частности, координат,  долготы и широты). 

2.2.Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением b-ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел  и каждое число x представляется как линейная комбинация:

, где на коэффициенты ak (называемые как и прежде цифрами) накладываются некоторые ограничения.

Записью числа x в смешанной системе счисления  называется перечисление его цифр в  порядке уменьшения индекса k, начиная  с первого ненулевого.

В зависимости  от вида bk как функции от k смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда bk = bk для некоторого b, показательная смешанная система счисления совпадает с b-ричной системой счисления.Наиболее известным примером смешанной системы счисления являются представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина d дней h часов m минут s секунд соответствует значению  секунд.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных  системах счисления величина, которую  обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания. 

3.Системы счисления разных народов

3.1.Древнеегипетская система счисления

Древнеегипетская  десятичная непозиционная система  счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для  обозначения чисел 0, 1, 10, 10², 10³, 104, 105, 106, 107 использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления  записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи.

3.2.Алфавитные системы счисления

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи (см. гематрия) и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы. [2]

[править]

3.3.Еврейская система счисления

Еврейская система счисления в качестве цифр использует 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400 (см. т. ж. Гематрия). Ноль отсутствует. Цифры, записанные таким  образом, наиболее часто можно встретить в нумерации лет по иудейскому календарю.

3.4.Римская система счисления

Каноническим  примером почти непозиционной системы  счисления является римская, в которой  в качестве цифр используются латинские  буквы:

I обозначает 1,

V — 5,

X — 10,

L — 50,

C — 100,

D — 500,

M — 1000

Например, II = 1 + 1 = 2

здесь символ I обозначает 1 независимо от места в  числе.

На самом  деле, римская система не является полностью непозиционной, так как  меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

IV = 4, в то  время как:

VI = 6

3.5.Система счисления майя

Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним  исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это  было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.

Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).

3.6.Кипу инков

Прообразом  баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы[3], так и не числовых записей в двоичной системе кодирования[4]. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных[5]. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись[6]. 
 
 
 
 
 

Содержание: 

1.Что  такое система счисления?.......................................................................................................................2 
 

2.На  что подразделяются системы счисления?...............................................................................................2

     2.1.Позиционные системы счисления

     2.2.Смешанные системы счисления

     2.2.Смешанныесистемысчисления 

3.Системы  счисления разных народов……………………………………………………………...………3

    3.1.Древнеегипетская система счисления

    3.2.Алфавитные системы счисления

    3.3.Еврейская система счисления

    3.4.Римская система счисления

    3.5.Система счисления майя

    3.6.Кипу инков 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

1.http://www.klgtu.ru/students/literature/inf_asu/1740.html

2.http://ru.wikipedia.org/wiki/Система_счисления

3.ru.wikibooks.org/wiki/Системы_счисления