Решение игр в смешанных стратегиях

         

     Решая эти системы, получаем

     Это означает, что оптимальная стратегия  каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 1/2, при этом средний выигрыш равен 0.

     

Пример 2.

     Игра  «поиск» 

     Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I и II); игрок В ищет игрока А, и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А, в противном случае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

     Решение. Для составления платежной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I – обозначим эту стратегию через A₁ или в убежище II — стратегия A₂ .

     Игрок В может искать первого игрока в убежище I — стратегия B₁ , либо в убежище II — стратегия B₂. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок В, т.е. осуществляется пара стратегий (A₁, B₁), то игрок А платит штраф, т.е. a₁₁ = - 1. Аналогично получаем a₂₂ = - 1 (A₂, B₂). Очевидно, что стратегии (A₁, B₂) и (A₂, B₁) дают игроку А выигрыш 1, поэтому a₁₂ = a₂₁ = 1. Таким образом, для игры "поиск" размера 2×2 получаем платежную матрицу

3. Смешанная стратегия игроков

     Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

 
       Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 4, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₁.  
 Верхняя цена игры b = min(b_j) = 5.  
       Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 4 ≤ y ≤ 5. Находим решение игры в смешанных стратегиях.  
        Запишем систему уравнений.  
 Для игрока I  
 4p₁+7p₂ = y  
 5p₁+3p₂ = y  
 p₁+p₂ = 1  
 Для игрока II  
 4q₁+5q₂ = y  
 7q₁+3q₂ = y  
 q₁+q₂ = 1

 

   Решая эти системы методом Гаусса, находим:  
 y = 4³/₅  
 p₁ = ⁴/₅ (вероятность применения 1-ой стратегии).  
 p₂ = ¹/₅ (вероятность применения 2-ой стратегии).  

Оптимальная смешанная  стратегия игрока I: P = (⁴/₅; ¹/₅)  

q₁ = ²/₅ (вероятность применения 1-ой стратегии).  
 q₂ = ³/₅ (вероятность применения 2-ой стратегии).  

Оптимальная смешанная  стратегия игрока II: Q = (²/₅; ³/₅)  

Цена игры  
 y = 4³/₅  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР 2Х2 В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ И МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

  Матричную игру 2х2 решим в смешанных стратегиях:

  1) аналитически (для игрока А); геометрически (для игрока В)

  2) провести моделирование результатов игры с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел, разыграв 30 партий; определить относительные частоты использования чистых стратегий каждым игроком и средний выигрыш, сравнив результаты с полученными теоретически в п.1.

  Игра  задана платежной матрицей: .

  Решение:

  1. Найдем аналитически оптимальную  стратегию игрока А и соответствующую цену игры Х*(р₁, р₂), n.

  Так как Х* – оптимальная, то она должна гарантировать средний выигрыш  игроку А, равный цене игры при любом  поведении игрока В:

  для стратегии В₁: ;

  для стратегии В₂: .

  С учетом того, что сумма компонентов  смешанной стратегии равна 1, получаем систему уравнений:

    

  Вычтем  из первого уравнения второе: или .Значит:

    

  

    

  Итак: , n = 9. 

  Найдем геометрически оптимальную смешанную стратегию игрока В: Y*(q₁, q₂).

  Стратегию А₁ изобразим точками с ординатами 10 и 7 на прямых В₁ и В₂ соответственно. Стратегию А₂ – точками с ординатами 8 и 11 (см. рис. 1).

  

  Рис. 1. Геометрическая интерпретация матричной  игры для игрока В 
 

  Каждой  точке на отрезке [0; 1] соответствует смешанная стратегия игрока В. Среди них оптимальной будет та, которая определяется самой низкой точкой ломанной А₁МА₂, т.е. точкой М. Для нахождения компонентов оптимальной стратегии игрока В надо найти координаты точки М, причем если М (х, у), то q₁ = 1 – х, q₂ = х, n = y. Для этого найдем уравнения прямых А₁А₁ и А₂А₂, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки:

.

  Так как А₁(0; 10) и А₁(1; 7), то

, , , .

  Т.е. уравнение прямой А₁А₁ имеет вид: .

  Так как А₂(0; 8) и А₂(1; 11), то

   , , , .

  Т.е. уравнение прямой А₂А₂ имеет вид: .

  Найдем  координаты точки М, решив систему  уравнений прямых А₁А₁ и А₂А₂:

    

  Итак, , значит n = 9, или .

  Ответ: , , n = 9.

  

                                         Заключение

     Матричные игры широко используются в системах принятия решений. Они могут служить математическими моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики,  математической статистики, военного дела, биологии. Нередко в качестве одного из игроков рассматривают «природу», под которой понимается вся совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему решения лицу (другому игроку).

 
     

     Список  литературы

1. Шишкин Е.В., Чхартишвили А.Г.  Математические методы и модели в управлении: Учеб. Пособие. – М.: Дело, 2000.
2. Лапшин К.А. Методические указания для студентов экономического факультета «Игровые модели и принятие решений». – М. 2001.
3. Мулен Г. Н. Теория игр с примерами из математической экономики. – М.: Мир, 1985.
4. Черноморов Г.А. Теория принятия решений. Учебное пособие.- Новочеркасск: Электромеханика, 2002, 276 с.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание 

Введение  ……………………………………………………………………….....3

1. Классификация игр………………………………………………………….... 4

2. Решение игр в смешанных стратегиях ……………………………………....6

3. Смешанная стратегия игроков …………………………………………..…. 11

4. Решение матричных игр 2х2 в смешанных стратегиях и моделирование результатов ………………………………………………………………………13

Заключение……………………………………………………………………… 16

Список  литературы ……………………………………………………………...17