Санкт-Петербургский  государственный технологический  институт

(технический  университет)

 
 
 

Кафедра: математического  моделирования и оптимизации  химико-технологических процессов

 
 

Факультет: физико-математическое отделение

 

      Курс: I

                                   Группа: 271

 
 

Учебная дисциплина: информатика

 
 
 
 
 
 

     Курсовая  работа

 
 

Тема: обработка экспериментальных данных средствами Excel, MathCad и Visual Basic

 
 
 
 

Студент: _________________________________________________ Пумпурс Ю.Р.

 
 
 

Руководитель:______________________________________________Гайков А.В.

 
 

Оценка за курсовую работу:__________________________________ Личная подпись

           руководителя

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Оглавление

 

     Введение

   Сейчас, в XXI веке, ни одна область науки и жизни не обходится без ЭВМ.  Знания человека расширяются и, следовательно, усложняются. В настоящее время создано много программ, способных облегчить решение многих проблем и задач во многих областях познаний. Я, как будущий специалист в области химии, считаю необходимым умение создавать программные продукты в различных приложениях.

   Цель  моей работы: обработать экспериментальные  данные в приложениях Excel, MathCad, Visual Basic

   Мои задачи: описать метод выполнения расчётов, выполнить расчёты в  Excel, MathCad, Visual Basic, построить графики, сравнить результаты, полученные в трёх приложениях, выяснить, какое из трёх приложений наиболее удобно для решения данной задачи.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
---

Санкт-Петербургский  государственный технологический  институт

 (технический университет)

 

Факультет: физико-математическое отделение

Кафедра: математического  моделирования и оптимизации  химико-технологических процессов

Учебная дисциплина: «Информатика»

Курс: I

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ № 13

 

Тема: Обработка экспериментальных данных средствами Excel, MathCAD и Visual Basic

 

Постановка  задачи

Источник  радиоактивного излучения помещен  в жидкость. Датчики расположены  на расстоянии ( ) 20, 50 и 100 см от источника. Измерения интенсивности излучения

( , мРн) проводились через 1, 5 и 10 суток ( ) после установки источника. Результаты измерений ( ) приведены в таблицы:

 

 Переменная ( ) зависит от двух независимых переменных и ,

 

                        (1)

 

Требуется определить вид зависимости и найти неизвестные параметры, входящие в функцию.

Примечание

Выдвинуто предположение, что функция  является произведением показательных функций и имеет следующий вид:

 

                                              (2)

 

Прологарифмируем (2) и получим 

 

 

Введем  обозначения:

 

    

 

Для определения  коэффициентов  , и минимизируется сумма квадратов отклонений:

 

 

Продифференцируем по , и и приравняем все частные производные нулю, получим систему уравнений

 
 

 

Решением  этой системы будут искомые значения , и , через которые можно найти , и .

Задание

 

1. Разработать  программный продукт на VB

     a. для определения , и

     b. для вычисления для заданных значений и

     c. для вычисления относительной погрешности

     d. для определения наибольшей и наименьшей погрешности

 

2. Для  решения системы уравнений использовать  метод Крамера, вычисление оформить  в виде процедуры Sub..End Sub.

 

3. Выполнить  вычисления в среде Excel. Построить графики.

4. Выполнить  работу в среде MathCAD.

Провести  сравнение полученных результатов.

 

 

 

Описание  метода

     Метод наименьших квадратов

     МНК – один из методов аппроксимации  функции y=y(x), заданной таблицей из n значений. По этому методу строится функциональная зависимость y=f(x, a1,…,a_m), где а1,…,а_{m –} неизвестные параметры, подбираемые так, чтобы величина выражения

                   n

     s = Σ p_i (f(x_i, a₁,…..,a_m) – yi)²

             i=1

была  бы минимальной (pi – положительные числа, называемые весами, они выбираются произвольно, исходя из физических или математических соображений, либо полагаются все равными единице). Параметры ai,…am должны удовлетворять системе уравнений

∂x

∂y = 0, i=1….m (нормальная система). Если нормальная система имеет единственное решение, то оно и является искомым. Обычно в качестве f(x, a1,…,a_m ) выбирают многочлены (алгебраические или обобщённые). При выборе алгебраического многочлена в случае m=n приходим к интерполяционному многочлену, в случае m>n задача неопределённа. М.Н.К. применяется при m<n. В частном случае, когда строится линейная зависимость вида f(x) = ax+b, коэффициенты a и b находятся из системы линейных уравнений¹:

                                 n               n            n

                            a Σ x_i²+b Σ x_i = Σ x_iy_i

                                i=1             i=1         i=1

 

                                n                   n

                            a Σ x_i+bn = Σ y_i                              

                                i=1              i=1

 

Метод Гаусса:

   Определитель  квадратной матрицы A – число D, равное сумме n! членов (-1)ⁿ a₁₁, a₂₂,a₃₃…a_nn, каждый из которых соответствует одному из n! различных упорядоченных множеств j₁,j₂,….j_n , полученных r-парными перестановкамиэлементов из множеств 1,2,…n.

   Определителы  матриц с любой размерностью вычисляются  по методу Гаусса. Он сводится к преобразовании матриц к треугольному виду с помощью  следующих формул преобразования элементов  матрицы А:

    

                          a_ij^(k)=a_ij^(k-1) – a_ij^(k-1)*(a_kj^(k-1)/a_kk^(k-1)),

   где k=1,2,…,(n-1) и  a_kk^(k-1) ≠0. Преобразование массива A (n,n) производится в направлении расположения столбцов слева направо. Определитель вычисляется как произведение всех диагональных элементов преобразованной матрицы.

   Необходимое условие для реализации простого метода Гаусса заключается в неравенстве  элемента a_kk^(k-1)) нулю на всех этапах преобразования.²

 

   Регрессионный анализ  (приближение функций по методу наименьших квадратов)

   Линейный парный регрессионный анализ в определении параметров эмпирической линейной зависимости y=b₁(x)+b_0, описывающей связь между некоторым числом N парных значений x_i и y_i, обеспечивая при этом наименьшую среднеквадратичную погрешность. Графически эту задачу можно представить следующим образом: в облаке точек x_i y_i  плоскости xy требуется провести прямую так, чтобы величина всех отклонений отвечала условию:

                    n

   U = Σ[y_i – y(x_i)]² = min,

          I=1

   где y(x_i) – зависимость. Для этого нужно приравнять нулю частные производные:

   ∂U         n

   ∂b₀ = Σ [y_i+(b_o+b₁x_i]

                i=1

   ∂U          n

   ∂b1 = Σ [y_i+(b_o+b₁x_i ) x_i ], что даёт для определения неизвестных

                      i=1

   коэффициентов система линейных уравнений:

                    N                 N

   b₀N+b₁ Σx_i = Σy_i

              i=1           i=1

         N                  N             N

   b₀ Σx_i+b₁ Σx_i²= Σx_iy_i

         i=1                i=1           i=1

Решение этой системы:

 

               N                       N                 N

   b₁ = Σx_i+b₁Σy_i-NΣx_iy_i

           i=1             i=1           i=1____

            N                  N

           (Σx_i)²-NΣx_i²

             i=1               i=1

               N                  N

    bo= 1(Σy_i – b_iΣx_i)