Модель непрерывного и дискретного каналов связи

Модель  непрерывного и дискретного каналов  связи. 

 Формулы Шеннона для непрерывного и дискретного каналов

Как уже  отмечалось, локальные сети в настоящее  время практически всегда имеют  выход в какую-то глобальную сеть. Как правило, для подключения  к глобальной сети используются модемы.

Модем (сокращение от «модулятор-демодулятор») - это устройство, преобразующее  цифровые данные от компьютера в аналоговые сигналы перед их передачей по последовательной линии и, после  передачи, производящее обратное преобразование. Основная цель преобразования состоит  в согласовании полосы частот, занимаемой сигналами, с полосой пропускания  линии передачи. Сигналы могут  занимать всю полосу пропускания  линии передачи либо ее часть (при  частотном разделении каналов, например, в случае организации полностью дуплексного обмена). Кроме того, модемы должны обеспечивать необходимую амплитуду и мощность сигналов для достижения большого отношения сигнал/шум и, как следствие обоих перечисленных факторов (полосы частот и отношения сигнал/шум), возможно большей скорости передачи.

Модемы  наиболее часто используются для  подключения отдельных компьютеров  либо локальных сетей к телефонной линии и, через нее, к другим компьютерам  и сетям, в том числе и к  глобальной сети Internet. Возможно, однако, использование достаточно экзотичных (по крайней мере, в настоящее время) линий передачи (типа силовой линии электропитания или системы кабельного телевидения) и не менее экзотичных модемов для связи компьютеров (и не только компьютеров), подключенных к той же самой линии связи. Все эти вскользь упомянутые темы, а также принципы работы и внутреннее устройство модемов (в упрощенном виде) рассматриваются в данной главе.

Внимание  к характеристикам, внутреннему  устройству модемов и принципам  их работы вызвано отнюдь не абстрактным  соображением о пользе знаний вообще и даже не только чисто прагматическим взглядом на проблему выбора конкретного  типа модема, исходя из анализа доступных (часто не полных) сведений и цен. Дело в том, что модемы, используемые для передачи уязвимых по отношению  к помехам цифровых данных по отнюдь неидеальным также и в других отношениях линиям передачи, являются хорошим примером «торжества человеческой мысли», воплощенном в достаточно компактном и зачастую интеллектуальном техническом устройстве. Весьма наглядно это проявляется на примере все  тех же модемов для подключения  к телефонным линиям, которые, как  известно, имеют весьма ограниченную полосу пропускания (стандартное значение 3100 Гц) и прочие неприятные и не всегда предсказуемые особенности (временные перерывы в связи, искажения вплоть до полной неузнаваемости формы сигналов после передачи и др.). Для модемов, работающих на аналоговых телефонных линиях, в настоящее время достигнут теоретический предел, определяемый теоремами Шеннона. Работа на пределе возможностей приводит, как всегда, к наукоемким и оригинальным в техническом отношении решениям, которые могут быть полезны широкому кругу специалистов, занимающихся собственными разработками.

Формулы Шеннона представляют собой математические записи теорем кодирования Шеннона  для дискретных и непрерывных  сообщений, передаваемых по каналам  с ограниченной пропускной способностью на фоне шумов и помех.

Каналы  связи принято делить на дискретные, непрерывные и смешанные в  зависимости от типов сигналов на входе и выходе. В общей структурной схеме канала передачи (рис. 12.1) дискретными являются каналы от входа модулятора до выхода демодулятора и от входа кодера до выхода декодера. Непрерывный (аналоговый) канал - это собственно последовательная линия передачи (телефонная линия, скрученная пара проводов, коаксиальный кабель и др.). Дискретные каналы не являются независимыми рт

аналогового канала, который часто образует наиболее «узкое место» при передаче и из-за собственной ограниченной полосы пропускания  и внешних шумов и помех  определяет общую достижимую скорость передачи (при заданном допустимом уровне ошибок при приеме).

Рис. 12.1. Общая структурная схема канала передачи: 1 - непрерывный (аналоговый) канал; 2,3- дискретные каналы

Прежде  чем рассматривать формулы Шеннона, целесообразно обратиться еще раз  к рис. 12.1 и пояснить функции отдельных устройств, так как это пригодится при дальнейшем изложении.

Кодер/декодер  в конкретной системе может совмещать, на первый взгляд, прямо противоположные  функции.

Во-первых, кодер может быть использован  для внесения избыточности в передаваемую информацию с целью обнаружения  влияния шумов и помех на приемном конце (там этим занимается соответствующий  декодер). Избыточность проявляется  в добавлении к передаваемой полезной информации так называемых проверочных разрядов, формируемых, как правило, чисто аппаратурными средствами из информационной части сообщения. Известно много различных помехоустойчивых кодов, причем самый простой однобитовый код (бит четности/нечетности) далеко не всегда удовлетворительно работает на практике. Вместо него в локальных сетях используются контрольная сумма или, что еще лучше, циклический код (CRC - Cyclic Redundancy Check), занимающий в формате передаваемого сообщения 2 или 4 байта, независимо от длины в байтах информационной части сообщения.

Во-вторых, при больших объемах передаваемой информации целесообразно ее сжать  до передачи, если есть такая возможность. В этом случае говорят уже о  статистическом кодировании. Здесь  уместна аналогия с обычными программами  архивации файлов (типа arj, rar, pkzip и др.), которые широко используются при организации обмена в сети Internet. Волее того, если проблема с большими объемами информации и после такого обратимого сжатия до конца не решается, можно рассмотреть возможность необратимого сжатия информации с частичной ее потерей («огрублением»). Конечно, здесь не может быть и речи об отбрасывании части чисто цифровых данных, но по отношению к изображениям иногда можно пойти на снижение разрешения (числа пикселей) без искажения общего вида «картинки». Здесь можно упомянуть алгоритмы сжатия JPEG для изображений и MPEG для видео- и аудиопотоков, допускающие значительные степени компресии без уменьшения разрешения и с минимальными потерями.

Понятно, что оба типа кодирования (помехоустойчивое избыточное кодирование и статистическое кодирование) служат, в конечном счете, решению одной задачи - повышению  качества передачи как в смысле отсутствия или минимального допустимого уровня ошибок в принятом сообщении, так  и в смысле максимального использования  пропускной способности канала передачи. Поэтому в высокоскоростных модемах  нередко реализуются оба типа кодирования. Что касается функций  модулятора/демодулятора на рис. 12.1, то они, как уже было сказано, включают согласование полосы частот, занимаемой сигналами, с полосой пропускания  линии передачи. Кроме того, выходные каскады передатчиков (после модуляторов) реализуют усиление сигналов по мощности и амплитуде, что является наиболее очевидным средством увеличения отношения сигнал/шум. Действительно, ничто (кроме, пожалуй, техники безопасности...) не заставляет разработчиков придерживаться в аналоговом канале столь жестких  ограничений сигналов по амплитуде, как в дискретных (цифровых) каналах (от 0 до + 5В при использовании  аппаратуры в стандарте ТТЛ). Например, для распространенного стандарта последовательного порта компьютера RS-232C предусмотрена «вилка» амплитуд от -(3...12)В до +(3...12)В. Конечно, в обоих случаях речь идет об амплитудах вблизи передатчика, в то время как вблизи приемника амплитуда сигналов может быть существенно ослаблена.

Формула Шеннона для непрерывного (аналогового) канала связи достаточна проста:

где VMaKc - максимальная скорость передачи (бит/сек), Af — полоса пропускания линии передачи и, одновременно, полоса частот, занимаемая сигналами (если не используется частотное разделение каналов), S/N — отношение сигнал/шум по мощности. График этой зависимости приведен на рис. 12.2 (формуле Шеннона соответствует кривая под названием «теоретический предел»).

Под шумом  понимается любой нежелательный  сигнал, в том числе внешние  помехи или сигнал, вернувшийся к  передающему устройству - может быть, и модему - в результате отражения  от противоположного конца линии. Сами по себе сосредоточенные помехи не столь существенно ограничивают пропускную способность аналогового  канала, как непредсказуемый в  каждый момент времени белый гауссовский шум. «Умные» высокоскоростные модемы умеют, как будет отмечено в дальнейшем, определять уровень и задержку «своих» отраженных сигналов и компенсировать их влияние.

Рис. 12.2. Зависимость максимальной скорости передачи VU3KCдля аналоговой линии  от отношения сигнал-шум по мощности S/N

Формула Шеннона для многопозиционного  дискретного канала, построенного на базе предыдущего непрерывного канала, в отсутствие ошибок при приеме, имеет следующий вид:

Здесь п - общее число вариантов дискретного (цифрового) сигнала (алфавит). Если за время одной посылки (длительность элементарного аналогового сигнала типа отрезка синусоиды) передается информация о k двоичных разрядах, то n = 2k. Практически расширение алфавита для дискретных сигналов приводит к появлению все менее различимых элементарных посылок, так что величина п ограничивается сверху все тем же отношением сигнал/шум S/N в аналоговом канале.

При учете  ошибок при приеме формула Шеннона  для многопозиционного дискретного  канала, построенного на базе непрерывного канала, имеет следующий вид:

Здесь рош - отношение числа бит, принятых с ошибками, к общему числу переданных бит за время наблюдения, теоретически стремящееся к бесконечности, а практически достаточное для набора статистики.

Согласно  стандарта МККТТ (CCITT, новое название той же организации -ITU-T), для телефонных сообщений должно выполняться условие рош. < 3 • 10~5, а для цифровых данных рош. < 10~6 (в отдельных случаях для критичных данных этот порог уменьшают до 10~9). При выполнении требований стандартов влиянием ошибок при приеме на максимально-допустимую скорость передачи можно полностью пренебречь и от соотношения (3) перейти к более простому соотношению (2). В частном случае бинарного канала (k = 1, n = 2) при Рош= 1/2 из соотношения (3) следует, что V — 0, а при р —> 0 и при р —> 1 V —> 2 • Af. Физический смысл

такой зависимости состоит в том, что  при рош— 1/2 принятый сигнал не содержит полезной информации (каждый из принятых битов может оказаться ошибочным). При рош (гипотетический случай, имеющий чисто теоретический интерес) каждый бит с большой вероятностью инвертируется, и доля полезной информации снова возрастает.

Формулы Шеннона показывают, что наиболее эффективный способ увеличения максимальной скорости передачи Умакс состоит в увеличении полосы пропускания линии передачи Af (VMaKc ~ Af). Логарифмическая зависимость VMaKc от отношения сигнал/шум S/N делает этот путь повышения Умакс гораздо менее перспективным и более трудоемким. Однако на практике редко возможен свободный выбор линии передачи, который с точки зрения реализации максимальной скорости передачи однозначно сводится к использованию оптоволоконной линии связи (ВОЛС). Суровая действительность часто состоит в том, что имеется телефонная линия, по которой и нужно организовать передачу с использованием модемов.

Как уже  говорилось, телефонная линия (точнее, тракт передачи, функционирующий  на этой линии, с учетом фильтров) имеет  фиксированную полосу пропускания  Af = 3400 - 300 = 3100 Гц, поэтому приходится бороться именно за повышение отношения сигнал/шум. Да и то хороший результат сам по себе не гарантирован, так как речь идет о реализации возможностей, близких к теоретическому пределу. Практический предел отношения сигнал/ шум в аналоговой телефонной линии составляет примерно 35 дБ (более 3000 раз по мощности или более 56 раз по амплитуде), что соответствует максимальной скорости VMBKC« 34822 бит/сек (стандартное значение, реализуемое на практике, 33600 бит/сек). Популярные в настоящее время 56К—модемы реализуют заявленную скорость только в одну сторону — от провайдера (из сети) до пользователя и только при 

Пропускная способность  дискретного и непрерывного каналов  связи.

Пропускная  способность непрерывного канала

Пусть сигнал   на выходе канала представляет собой сумму полезного сигнала   и шума  , т.е.  , причем   и   статистически независимы. Допустим, что канал имеет ограниченную полосу пропускания шириной  . Тогда в соответствии с теоремой Котельникова (см. п. 1.5) функции  ,   и   можно представить совокупностями отсчетов  ,  , и  ,  , где  . При этом статистические свойства сигнала   можно описать многомерной ПРВ  , а свойства шума – ПРВ  .

Пропускная  способность непрерывного канала определяется следующим образом:

где      – количество информации о какой-либо реализации сигнала   длительности T, которое в среднем содержит реализация сигнала   той же длительности  , а максимум ищется по всем возможным распределениям .

Когда сигнал на входе канала имеет нормальное распределение и отсчеты независимы величина   максимизируется [6]. Поэтому пропускная способность гауссовского канала с дискретным временем, рассчитанная на единицу времени, с учетом (4.16) может быть записана в виде

Полученное  выражение показывает, что пропускная способность гауссовского канала с дискретным временем определяется числом импульсов, передаваемых в секунду, и отношением сигнал/шум ( ).

С учетом взаимосвязи скорости передачи информации и полосы частот непрерывного канала от (4.17) можно перейти к формуле  Шеннона, которая устанавливает  связь пропускной способности гауссовского канала с полосой пропускания непрерывного канала и отношением мощности сигнала к мощности помехи: