Математическое моделирование физических процессов

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Задачи на определение  кинематических характеристик  движения точки 5

Глава 2. Реализация средствами среды программирования Delphi7 9

Заключение 15

Литература 16

Приложение. 17 
 
 
 

 

Введение 

     Данная  работа рассматривает одну из самых  востребованных в наше время областей математики. Ведь эта область позволяет  прогнозировать природные и экономические  явления, планировать транспортные и информационные потоки, а так  же точно рассчитывать различные  виды затрат. Без преувеличения можно  назвать математическое моделирование  — основным инструментом по проектированию человеческой цивилизации.

     Математическое  моделирование — моделирование  реально существующих объектов и  явлений – физических, химических, биологических, социальных процессов, живых и неживых систем, инженерных конструкций, конструируемых объектов, осуществляемое средствами языка математики и логики. На самом деле, область  действия, охватываемая математическим моделированием, настолько широка, что невозможно в одно определение  уложить описание данного явления. Несмотря на это, определения полезны  тем, что в них делается попытка  выделить наиболее существенные черты.

     Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система.

     По  учебнику Советова и Яковлева : «модель — это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.»

     По  Самарскому и Михайлову, математическая модель — это «„эквивалент“  объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д.»

     Как видно из всех этих определений, главной  чертой моделирования является замещение  оригинала, свойства которого необходимо исследовать, некоей копией или эквивалентом, который наиболее точно повторяет исследуемые свойства оригинала.

     Математическое  моделирование, в отличие от материального (экспериментального, предметного), является теоретическим, происходящим только на бумаге или в компьютере, а не в реальности. Оно позволяет обойтись без сложного, дорогого или опасного эксперимента, например, при создании самолётов, ядерного оружия, а также даёт возможность изучать такие явления, как землетрясение, которое невозможно воспроизвести экспериментально.

     Математическое  моделирование процесса или явления  не может дать полного знания о  нём. Это особенно существенно в  том случае, когда предметом математического  моделирования являются сложные  системы, поведение которых зависит  от значительного числа взаимосвязанных  факторов различной природы. При  моделировании таких систем часть  незначительных факторов, воздействующих на систему, отбрасывается, т.е. система  идеализируется.

     Целью данной работы является самостоятельное  изучение метода математического моделирования, а также построение и исследование математической модели процесса движения точки средствами языка программирования Delphi.

 

     

Глава 1. Задачи на определение кинематических характеристик движения точки 

     Постановка  задачи: по заданным уравнениям движения точки М в координатной форме исследовать её движение: то есть установить вид её траектории и для момента времени (c) найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

     Надо: составить программу для установления вида траектории движения точки, а также для вычисления всех перечисленных выше характеристик её движения. Изобразить графически на плоскости траекторию движения точки и для времени характеристики движения (кроме радиуса кривизны). Результат вычислений оформить в виде таблицы.

     Задача.

     Уравнения движения точки:

           (1.1)

     Установить  вид траектории и для момента  времени с найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

     Решение.

     Уравнения движения (1.1) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Что бы получить уравнения в обычной  координатной форме, исключим время  из уравнений движения. Тогда

           (1.2)

     Полученное  выражение и есть уравнение параболы, график которой показан на рисунке 1.

     

Рисунок 1. График параболы. 

     Для определения скорости точки находим  проекции скорости на оси координат:

      

     Модуль  скорости точки: 

     При t₁ = 0,5 c: 

     Находим проекции и модуль ускорения точки: 
 

     Касательное ускорение находят путём дифференцирования  скорости по времени: 

     При t₁ = 0,5 c: 

     Знак  «+» показывает, что движение точки  ускоренное и, следовательно, направления  векторов a_τ и совпадают.

     Нормальное  ускорение в данный момент времени: 

     Радиус  кривизны траектории в рассматриваемой  точке, то есть в той точке, где  при t₁ = 0,5 c  Находится точка М, равен: 

     Результаты  вычислений для заданного момента  времени приведены в таблице 1.

Таблица 1. Характеристики движения.

 

     Пользуясь уравнением (2) вычерчиваем траекторию и показываем на ней положение  точки М в заданный момент времени (см. рис. 1). Вектор строим по составляющим причём этот вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки. Вектор a как по составляющим и , так и по a_τ и a_n, чем контролируется правильность вычислений.

 

Глава 2. Реализация средствами среды программирования Delphi7

Рисунок 2. Модель движения точки. 

Исходный код программы с пояснениями

Var

  Form1: TForm1;

  a,b,h,x,t,xm,ym,vx,vy,v,ax,ay,ap,at,an,q: real;

  a1,b1,c1,d1,x1,y1,r1: real;

  a2,b2,c2,d2,x2,y2,r2: real;

  a3,b3,c3,d3,x3,y3,r3: real;

  m,i: integer;

  y: array[1..200] of real; 

implementation 

{$R *.dfm} 

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

  stringgrid1.Cells[0,0]:='x';  -подписываем шапку таблицы

  stringgrid1.Cells[1,0]:='y';

  stringgrid1.Cells[2,0]:='Vx';

  stringgrid1.Cells[3,0]:='Vy';

  stringgrid1.Cells[4,0]:='V';

  stringgrid1.Cells[5,0]:='Ax';

  stringgrid1.Cells[6,0]:='Ay';

  stringgrid1.Cells[7,0]:='A';

  stringgrid1.Cells[8,0]:='At';

  stringgrid1.Cells[9,0]:='An';

  stringgrid1.Cells[10,0]:='q';

end;

 

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

function f(x: real): real;

begin

  f:=x*x-1;

end; 

begin

  series1.Clear; -очищаем график

  series2.Clear;

  series3.Clear;

  a:= -3.5; -левая граница отображаемой области

  b:= 3.5; -правая граница отображаемой области

  h:= 0.1; -шаг

  t:=StrToFloat(edit1.text); -считывает пользовательское значение t

  xm:= 4*t; ym:= f(xm);

  vx:= 4; vy:= 32*t;

  v:= sqrt(vx*vx+vy*vy);

  ax:= 0; ay:= 32;

  ap:= sqrt(ax*ax+ay*ay);

  at:= (vx*ax+vy*ay)/v;

  an:= sqrt(ap*ap-at*at);

  q:= v*v/an;

  x:= a;

  while x<=b do -рисуем график функции

  begin

    series1.AddXY(x,f(x));

    x:=x+h;

  end; 

     Для построения вектора касательного ускорения составляем уравнение касательной к графику функциив точке  

и уравнение  окружности с центром в точке  и радиусом

      

     Из  системы уравнений 

находим координаты конца вектора  ().

     Для построения вектора нормального  ускорения  составляем уравнение прямой перпендикулярной касательной и проходящей через точку и уравнение окружности с центром в точке и радиусом . Из системы уравнений находим координаты конца вектора (). 

     Аналогично  находим координаты конца вектора  полного ускорения  (). 
 

//вычисляем координаты  конца вектора касательного ускорения

  a1:=1+4*xm*xm;

  b1:=-(6*xm+4*xm*xm*xm+4*xm*ym);

  c1:=xm*xm+xm*xm*xm*xm+2*xm+1+2*xm*xm*ym+2*ym+ym*ym-(at/10)*(at/10);

  d1:=b1*b1-4*a1*c1;

  x1:=(-b1+sqrt(d1))/(2*a1);

  y1:=xm*xm-1+2*xm*(x1-xm); 

//вычисляем координаты  конца вектора нормального ускорения

  a2:=1;

  b2:=-2*xm-1/(2*xm);

  c2:=xm*xm+0.25-(an/10)*(an/10);

  d2:=b2*b2-4*a2*c2;

  x2:=(-b2-sqrt(d2))/(2*a2);

  y2:=ym-x2/(2*xm)+0.5; 
 

//вычисляем координаты конца вектора полного ускорения

  a3:=1;

  b3:=-2*ym;

  c3:=ym*ym-(ap/10)*(ap/10);

  d3:=b3*b3-4*a3*c3;

  y3:=(-b3+sqrt(d3))/(2*a3);

  x3:=xm; 

  series2.AddBubble(xm,ym,0.1); // M

  series3.AddArrow(xm,ym,xm+vx/4,ym,'',clred); // Vx

  series2.AddBubble(xm+vx/4-0.5,ym-0.3,0,'Vx');

  series3.AddArrow(xm+vx/4,ym,xm+vx/4,ym+vy/4,'',$000080FF); // Vy

  series2.AddBubble(xm+vx/4+0.2,ym+vy/8,0,'Vy'); 

  series3.AddArrow(xm,ym,xm+vx/4,ym+vy/4,'',clGreen);   // V

  series2.AddBubble(xm+vx/4-0.4,ym+vy/4-0.2,0,'V'); 

  series3.AddArrow(xm,ym,x1,y1,'',clYellow);  // at

  series2.AddBubble(xm+(x1-xm)/2+0.2,ym+(y1-ym)/2,0,'At');