, если 

Тогда вместо решения задачи (4.1) можем  решать задачу . По свойствам функционала ее решение существует и единственно. 

Кроме того, – выпуклая, дифференцируемая по Гато функция [2].

Производная Гато функции  :

     

Тогда задача эквивалентна решению уравнения

                                                                        (4.4)

         (4.5)

Можно показать, что – монотонный оператор и , если [3].

Следовательно, решение вариационной задачи  .

 

Замечания по реализации:

Неизвестную функцию  решения  будем искать в виде:

                                                   ,                                                                (4.6) где – число узлов триангуляции, 

       – значение функции в i-том узле,

       – базисная функция из пространства . 

Тогда задача минимизации функционала (4.2) превратится в задачу многомерной  минимизации по :

5. Тесты

 

Алгоритм для  нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.

Были проведены  расчеты для различных форм сечений  стержня (области ): круга, квадрата и треугольника.

В случае если сечение стержня – круг, то известно аналитическое решение задачи.  

 

 

1) . Точное решение задачи .

На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .  

Рис.2 Число узлов = 29

        

Рис.3 Число узлов = 146

Рис.4 Число узлов = 270 
 

Рис.5 Число узлов = 549 

Для оценки погрешности  решения введем величину , характеризующую относительную погрешность.

Здесь – точное решение, – численное решение;

, где  – число узлов.

В таблице 1 приведены  результаты сравнения численного и точного решения. 

                                  

                                         Таблица 1 Результаты сравнения (1). 

2) . Точное решение задачи .

На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .   

Рис.6 Число узлов = 29 
 

Рис.7 Число узлов = 146 
 

Рис.8 Число узлов = 270

Рис.9 Число узлов = 549

 

Как и в первом примере, вычислена относительная  ошибка, см. Таблицу 2.    

 

                                                Таблица 2 Результаты сравнения (2). 

3) На Рис.10-11 изображены численные решения задачи для стержня с квадратным сечением,

Рис.10 Число узлов = 27

Рис.11 Число узлов = 177 
 

4. На Рис.12 изображено численное решение задачи для стержня с треугольным сечением,

Рис.12 Число узлов = 144 

Выводы

 

В ходе выполнения данной работы была изучена задача о кручении упругопластического стержня.  

Показано, что решение задачи существует и  единственно.  

Предложен метод численного решения поставленной задачи, основанный на применении конечноэлементного подхода для перехода от бесконечномерной задачи к конечномерной, а также на применении метода штрафа для минимизации целевого функционала. 

Проведены различные численные эксперименты; для случая, когда известно аналитическое  решение задачи, вычислена относительная  ошибка численного решения по сравнению  с точным. 
 
 
 
 
 
 
 

Список литературы

 

1. Сьярле  Ф. Метод конечных элементов для  эллиптических задач. – М.:Мир, 1980.
2. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.:Мир, 1979.
3. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.:Мир, 1972.