Корреляционно-регресионный анализ

     ТЕМА 1. РЕГРЕССИОННО-КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ 

     Проводились исследования влияния температуры на кислотность  при производстве сыра «Майского». Результаты исследований представлены в таблице 1.

     Таблица 1

Требуется:

1. представить результаты эксперимента графически в виде точечной диаграммы и сделать предположение о форме модели;
2. найти коэффициенты модели методом наименьших квадратов;
3. найти средние квадратические ошибки коэффициентов найденного эмпирического уравнения регрессии;
4. построить 95 %-ные доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии;
5. вычислить коэффициенты корреляции и детерминации;
6. провести анализ исходных данных при помощи встроенных функций EXCEL. Сравнить полученные данные.
7. подобрать математическую модель с использованием линий тренда в электронных таблицах EXCEL.
1. Представим результаты эксперимента графически, в виде точечной диаграммы, т.е. построим корреляционное поле.

     Для этого выполним следующие действия:

• выделим числовые данные в строках таблицы;
• выберем в меню Вставка пункт Диаграмма; тип диаграммы – Точечная;
• Подписываем название диаграммы и названия осей;
• Размещаем диаграмму на текущем листе.

     В результате выполненных действий, корреляционное поле имеет вид: 

Рисунок 1 – Корреляционное поле

     По  расположению точек на корреляционном поле предположим, что точки группируются вокруг прямой линии, т.е. уравнение регрессии имеет линейный характер [1 с.8, 6 с. 231-236].

     Таким образом, уравнение модели будет  иметь вид:

2. При заданном виде зависимости находим параметры  этой зависимости, т.е. коэффициенты b₀ и b₁. Для этого используем метод наименьших квадратов.

     Для удобства вычислений создается вспомогательная таблица 2 [1 c. 9]. В данную таблицу вносятся исходные данные и осуществляются расчеты, указанные в заголовках таблицы.

    Таблица 2

 

     Контроль  произведенных вычислений осуществляется по формуле 1.

     В нашем случае имеем:

127514,4=97,76+2*2978,8+121459=127514,4.

     Данные  взяты из последней строки таблицы 1 соответствующих столбцов.

     Для нахождения коэффициентов уравнения  b₀ и b₁ запишем систему нормальных уравнений (2):

     В нашем случае:

     Составленная  система уравнений решается методом  Крамера. Для этого составляются определители (3):

     Полученные  определители – это определители второго порядка, которые раскрываются по формуле: разность произведений элементов главной и побочной диагоналей. Например, первый определитель раскрывается по формуле (4):

Остальные определители раскрываются аналогично.

Для удобства вычислений создаем таблицу 3:

Таблица 3

     Таким образом, уравнение регрессии имеет  вид:

.

3. Найдем средние квадратические ошибки коэффициентов полученного эмпирического уравнения регрессии. Для этого составляется таблица 4:

Таблица 4

     В 1-м и 2-м столбцах – исходные значения X и Y. В 3-м столбце – условные средние ŷ_i, которые рассчитываются по формуле , где b₀ и b₁ берутся из таблицы 3.

     В 4-м столбце определяется e_i – случайное слагаемое, характеризующее влияние на переменную Y неучтенных в данной формуле ( ) переменных X_i и влияние неконтролируемых изменений условий эксперимента.

    В 5-м столбце – величина e_i, возведенная во 2-ю степень.

     Результаты  вычислений представлены в таблице 5. 
 
 

Таблица 5

     Еще одной характеристикой степени  тесноты служит несмещенная оценка дисперсии S²_yx, характеризующая рассеивание экспериментальных точек относительно линии регрессии (6).

     Эмпирические  дисперсии точечных оценок коэффициентов  регрессии определяются по формуле (7):

     В формулах (7) значения сумм берутся из последней строки таблицы 2. Результаты вычислений представлены в таблице 6.

Таблица 6

4) Для  построения 95 %-ных доверительных интервалов необходимо воспользоваться формулами (8) и (9):

    95 %-ный доверительный интервал для коэффициента b₀:

    95 %-ный доверительный интервал для коэффициента b₁:

     где b₀ и b₁ – коэффициенты модели, - коэффициент Стьюдента, S²_b0 и S²_b1 – соответствующие дисперсии точечных оценок (таблица 6).

     Коэффициент Стьюдента  находят по таблицам распределения Стьюдента [4], где число степеней свободы k определяется по формуле:

k=n-2, где n – количество опытов; a=0,05.

     В нашем случае .

     Итак, доверительные интервалы в нашем случае имеют вид:

    5) Вычислим коэффициенты корреляции  и детерминации.