Контрольная работа по "Математическому моделированию"

 
 

   ПЛАН 
 

1. Задача 1……………………………………………………………………….…3
0. Описание  построения электронного документа
0. Описание  формул, используемых для вычисления
0. Описание  построения диаграммы
2. Задача 2………………………………………………………………………….6
0. Методы  решения систем линейных уравнений  и обоснование выбора используемого метода.
0. Описание  построения электронного документа.
0. Анализ  полученных результатов.
3. Задача 3………………………………………………………………………….11
0. Построение  математической модели для решения  оптимизационной задачи
0. Описание  решения задачи.
0. Анализ  отчета по результатам.

Заключение………………………………………………………………………....16 

Графический материал…...………………………………………………………..17 

    Литература……………………………………………………………………….….26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Задание 1.

   Построить графики функций в разных системах координат (значения а и b задать самостоятельно):

   

              Sin²(x+1)                                     x ≤ a

   Y=

               (a* tg(x+1)) / ln(1+x²)                 x ≥ 3                       
 

   при x  [a-1, a+1] 

   y= 1/x * ln²│x│ 

   при x  [a-1, a+1]. 

   Решение

   1.1. Описание построения электронного документа

     Для того, чтобы программа построила график необходимы данные.

   Заполним  таблицу значений функции.

   1.В  ячейках  F1, F2 и F3 зададим значения a, b.

   2. В ячейку F5 введем формулу, по которой и найдем начало отрезка. =F1-1? А ячейке F6 - =F1+1 ? для нахождения  конца отрезка.

   3. В ячейку A3 введем формулу, которая будет добавлять к следующей ячейки столбца шаг: = A2+$F$3

   5. Маркером заполнения ячейки A3 заполним низ ячейки столбца, до тех пор, пока не получим значение другого конца отрезка.

   6. Второй и третий столбец озаглавим как Y и y соответственно. Их мы будем использовать для вычислений функции Y и y.

      В результате получим таблицу значений x

 
 
 
 
 

   1.2 Описание формул, используемых для вычисления. 

   Поскольку нам необходимо, что  при значениях аргумента, принадлежащих разным отрезкам числовой прямой, функция Y вычислялась по различным выражениям, то для ее вычисления  будем использовать функцию ЕСЛИ.                                    

   Функция ЕСЛИ имеет следующий вид:

   ЕСЛИ(лог_выражение;значение_если_истина;значение_если_ложь)

   И возвращает значение_если_истина, если лог_выражение при вычислении дает значение ИСТИНА, и значение_если_ложь, если результат будет ЛОЖЬ.

   Для вычисления значений Yнам потребуются следующие формулы: 

   1. В ячейку В2 заносим первую формулу -

   =ЕСЛИ(A2<3;($F$1*EXP(SIN(A2+1)))/3^A2;($F$1*TAN(A2+1))/LN(1+A2^2)), где

     А2 – ссылка на значение переменной x.

     $F$1 – ссылка на значение а. 

   2. Поскольку колонка значений функции заполняется одинаковыми выражениями, то для заполнения остальных строк воспользуемся маркером заполнения.

   Это значит, что в данной ячейки значение функции Y вычисляется уже при другом значении x. 

3. Аналогичным образом заполняется таблица и для функции у. Для ее вычисления используется следующее выражение:

   =(1/A2)*(LN(ABS(A2)))^2 

   Для заполнения остальных строк также  воспользуемся маркером заполнения. 

   В результате получим следующую таблицу  данных:

 
 
 
 
 

   1.3 Описание построения диаграммы.  

   Вначале выделяем диапазон данных, в котором находятся данные используемые для построения диаграммы.

   Сначала построим график для значений функции Y.

   Для этого: выделяем столбец со значениями Y (B1:B12) - Вставка – график - в макетах выбираем нужный нам.

   После этого появится построенный график.  Даем ему название и помещаем на отдельном листе.

   Аналогично  строится график y. 

   Решение приведено в приложениях 1.1-1.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Задача 2. 

   Решить  систему линейных уравнений:

   

   х₁-4x₂- 3х₃= -24

   х₁+7x₂-8х₃-х₄ = 20

   3х₁-5х₃ = 9

   2х₁-5х₂+x₃ = 7 
 

   Решение. 

   2.1 Методы решения систем линейных уравнений и обоснование выбора используемого метода. 

   Решение данной системы уравнений может осуществляется известными методами линейной алгебры: матричным методом , методом Крамера и методом Гаусса.

   Матричный метод основывается на использовании обратной матрицы коэффициентов уравнения. Отсюда вытекает ограничение в применении этого метода: матрица коэффициентов должна быть невырожденной, т.е. определитель матрицы недолжен быть равен нулю. Это является условием существования обратной матрицы, а так же, что система имеет единственное решение. Кроме того, необходимым условием является равенство количества строк и столбцов в матрице коэффициентов уравнения.

   Решение системы может быть найдено путем  умножения слева вектора свободных  членов В на матрицу обратную матрице  коэффициентов уравнения. 

   Метод Крамера.

     По формулам Крамера неизвестные  системы линейных уравнений находятся  по формулам:

   

   x_i = ∆_n⁽ⁱ⁾ /∆_n (i=1,n) 

   где

     ∆_n – опредилитель матрицы коэффициентов уравнения,

   ∆_n⁽ⁱ⁾ – определитель n-го порядка, которые получаются  из ∆_n путем замены в нем i-го столбца вектором свободных членов уравнения.

   Необходимыми  условиями применения этого метода являются равенство количества строк и столбцов в матрице коэффициентов уравнения, невырожденность матрицы коэффициентов уравнения и неравенства нулю ∆_n. 

   Методом Гаусса.

   Заключается в приведении расширенной матрицы  системы, т.е. матрицы коэффициентов уравнения с добавлением в качестве столбца вектора свободных членов, к треугольному виду:

   

    1   а₁₂   а₁₃  а₁₄   b₁

   0   1     a₂₃   a₂₄   b₂

   0   0      1    a₃₄     b₃

   0   0       0   1      b₄

Путём преобразований, не приводящих к изменению  ранга матрицы: перестановки строк, столбцов, умножение элементов матрицы на коэффициент, вычитание одного столбца или строки матрицы из другого столбца или строки.

Тогда x₄= b4

           x₃ = b₃ – a₃₄ * 4

Необходимыми  условиями применения этого метода являются равенство рангов матрицы, это также будет условием единственного решения системы. Если ранг матрицы коэффициентов уравнения будет меньше ранга расширенной матрицы, то система уравнений будет иметь бесконечное множество решений. 

      На  мой взгляд, наиболее простым является матричный метод, которым мы и воспользуемся.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   2.2. Описание построения электронного документа.

   Размещение  данных на рабочем  листе ТП MS Excel 

     Реализация матричного метода решения модели МОБ  по формуле предполагает:

1. Нахождение обратной матрицы (Е-А)^-1 к матрице (Е-А) – расчет матрицы полных затрат В.
2. Выполнение операции умножения матрицы (Е-А)^-1 и вектор-столбца конечного продукта Y.

     Решение задания 2 приведено в. Приложениях 2.1-2.3. Для решения используются встроенные функции для работы с векторами и матрицами ТП MS Excel – МОПРЕД, МОБР, МУМНОЖ.