Комп'ютерне моделювання стохастичних процесів (СП) із заданими властивостями

Міністерство освіти і науки України

Одеська Національна Академія Харчових Технологій

 

 

 

 

 

Кафедра  АВП

 

 

 

 

 

Курсова робота

з дисципліни ОКМТС

на тему: «Комп'ютерне моделювання стохастичних процесів (СП) із заданими властивостями».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконав студент групи А - 21

Терлецький  С

Керівник: Жигайло О. М.

 

 

 

 

 

 

 

Одеса-2011

Зміст пояснювальної записки

ВСТУП ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ………... 2

1. Моделювання СП методом формуючого фільтра (ФФ1), якщо базовим генератором є блок Band Limited White Noise ... ……………………………. 3

1.1 Розрахунок формуючого фільтра ФФ1 ... ... ... ... ... ... ... ……………... 3

1.2 Ітераційна коригування параметрів формуючого фільтра .......................... 5

2. Моделювання СП методом формуючого фільтра (ФФ2),), якщо базовим генератором є блок Random Number ... ... ... ... ………………………..... ... .7

2.1 Розрахунок формуючого фільтра ФФ2 ... ... ... ... ... …………….. ... ... .7

2.2 Ітераційна коригування параметрів формуючого    фільтра ... ... . ... ... .. 11

3.Моделірованіе  та аналіз частотних характеристик ФФ1 і ФФ2 .. . …....  12

Висновки ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... …….. ... .15

Список інформаційних джерел ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ………………... .. 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введення

Однією з основних завдань сучасних технологій є завдання створення  нових високоефективних процесів і  вдосконалення вже існуючих.

Процеси харчових технологій - це складні  фізико-хімічні системи, що мають  подвійну детермінованою-стохастичну  природу, змінну в просторі і в  часі. Подібного роду системи характеризуються надзвичайно складною взаємодією складових  їх фаз і компонентів, внаслідок  чого вивчення їх стає практично неможливим.

Як же вивчати хіміко-технологічні процеси? Ключ до вирішення цієї проблеми дає метод комп'ютерного моделювання, що базується на стратегії системного аналізу, сутність якої полягає в  представленні процесу як складної взаємодіючої ієрархічної системи  з подальшим якісним аналізом її структури, розробкою математичного  опису та оцінкою невідомих параметрів.

В інженерній практиці комп'ютерне моделювання  робить вагомий внесок насамперед в  автоматизацію. Для імітації вхідного впливу на об'єкт використовуються моделі стохастичних процесів, у формі  випадкового процесу з декількома складовими.

Математична модель стохастичного  процесу представляється у вигляді  математичних моделей статистичних оцінок стохастичного процесу, тобто  моделі щільності ймовірності, кореляційної функції та спектральної щільності.

У курсовій роботі відтворення математичної моделі стохастичного процесу увазі  відтворення процесу, оцінки якого  будуть близькі до оцінок реального  процесу, який описувався цієї математичної моделлю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Моделювання СП методом формуючого фільтра (ФФ1), якщо базовим генератором є блок Band Limited White Noise

1.1 Розрахунок формуючого фільтра ФФ1

Заданими властивостями стохастичного  процесу в цій роботі є такі характеристики:

1. математичне очікування M=0;
2. середньоквадратичне відхилення G_f=3,7;
3. дисперсія D_f=13,69;
4. щільність вірогідності p(x)-нормальний (Гаусовий) закон розподілення;
5. кореляційна функція , де a=3,7; =0,3
6. спектральна щільність   , де a=3,7;

=0,3

Для генерації стохастичного процесу (СП) із заданими властивостями використовується метод формуючого фільтру. Його можна подати у вигляді такої структурної схеми для моделювання:

 

 

 

Де  БВП - базовий випадковий процес (в ідеалі білий шум), W_фф(p) - передатна функція формуючого фільтру.

Для моделювання стохастичного  процесу із заданими властивостями  спочатку треба визначити передатну  функцію формуючого фільтру W_фф(p).

 

                         (1)

 

Якщо  випадковий процес x(t) має властивості білого шуму, то його спектральна щільність S_x(ω)=a=const. Вона може бути розрахована по формулі

,                                                      (2)      

де G_x = G_f /2=1,85- середньоквадратичне відхилення процесу x(t), Δt_г =1/(3.7*2.5)=0.10– крок генерації випадкового процесу

Визначимо передатну функцію формуючого фільтру, якщо модель СП №1. Для цього в (1) підставимо вирази для спектральної щільності вхідного x(t) та вихідного f(t) сигналів як комплексні функції, тобто введемо змінну j.

Після цього отриману частотну передатну  функцію розподілимо  на частину з +jω та частину з –jω.

 

Бачимо, що                  

А після заміни     

 

 Далі слідує                      

, де   

,   ,

 

Базовий випадковий сигнал будемо реалізовувати за допомогою  блоку Band-Limited White Noise, який формує процес у виді частотно-обмеженого білого шуму. В параметрах цього блоку можна налаштувати:

Noise power - значення інтенсивності (потужності) білого шуму, що є значенням спектральної щільності на нульовій частоті;

Sample time - значення дискретності часу, або інтервал кореляції через який два виміряних значення стають некорельовані (також визначає верхнє значення частоти процесу);

Seed - початкове значення послідовності випадкових чисел, які використовуються для побудови сигналу.

Значення Sample time в цьому блоці визначає найбільшу частоту у спектрі вихідного сигналу. Вона дорівнює величині (у герцах), яка є оберненою до значення параметру Sample time. Тому останній не може дорівнюватися нулю.

 

Для вдалого  моделювання стохастичного процесу  із заданими властивостями слід правильно  визначити крок генерації БВП Δt_г. Під кроком генерації у блоці Band-Limited White Noise будемо вважати значення Sample time.

Далі треба визначити крок моделювання Δt та крок запису dt у файл для обробки. Крок моделювання задається у вкладці Simulation parameters →Fixed step size. А крок запису у блоці To File SP.

Введемо слідуючи рекомендації:

1. Крок генерації повинен бути пов’язаний з параметром α моделі кореляційної функції (спектральної щільності):

.

2. Крок моделювання повинен бути не більше кроку генерації (Δt≤Δt_г) та обов’язково кратним йому( - ціле число).

3. Крок запису у файл повинен бути такий самий, як крок генерації dt=Δt_г.

 

Враховуючи  рекомендації отримуємо: Δt_г = 0.087…0.125.

Оберемо Δt_г = 0.1.

Далі знайдемо      

 

Тоді  для моделі СП №5формуючий фільтр: , де  ,   , .Так як D_f=G_f²=3.8²=14.44, то

,

 

 

В параметрах блоку БВП встановимо:

Noise power – значення 0.24;

Sample time – значення Δt_г = 0.1;

Seed – значення 1.

 

 

Моделювання будемо вести при фіксованому  кроці Δt=0.1, а інтервал часу моделювання оберемо 18сек. Інтервал часу моделювання треба змінити, якщо кількість пересічень СП з лінією математичного очікування буде менше ніж 25, або значно більше 50.

Файл запису назвемо Случайный процесс кр.sp, а крок запису встановимо dt = 0.1.

 

 

Бачимо, що оцінка математичного очікування

  =M_х=-0.3009.

Оцінка  середньоквадратичного відхилення =G_х=3.773 відрізняється від заданого на

.

Якщо  відхилення між заданим та отриманим  значенням характеристики (або параметра) не перевищує 5%, то вважається, що результат  досягнуто.

Бачимо, що оцінка математичного очікування

  =M_х=0.01819 та суттєво відрізняється від заданого. Тому потребує корегування.

Оцінка  середньоквадратичного відхилення =G_х=7.967 відрізняється від заданого на

.

Отже, наше відхилення між заданим та отриманим значенням  характеристики (або параметра) не перевищує 5%, тому результату досягнуто.

На другому  кроці роботи з програмою IDsoft проводиться структурна ідентифікація моделей автокореляційної функції (АКФ) та спектральної щільності (СЩ) СП. По графікам оцінок АКФ та СЩ вибираємо із пропонованих семи типових, такі моделі АКФ та СЩ, які б були максимально схожі на них. В цьому випадку це модель №2.

На третьому кроці роботи з програмою IDsoft проводиться параметрична ідентифікація моделей АКФ та СЩ. ЇЇ ціль - визначення параметрів моделей. Параметр дисперсії вже ми маємо D_f=14.44. А значення параметру α буде знайдено завдяки оптимізаційній процедурі, яка дозволяє моделі АКФ описати її оцінку максимально точно.

Початкове наближення слід вводити рівним заданому значенню оптимізуємого параметру.

Результати  оптимізації: α^о=3.148, =3.274 Воно відрізняється від заданого на  .

Оскільки отримане значення не повинно  пере вищувати 5% ,то ми для зміни

α^о   змінюємо параметр Т. Через те що α< α^о  ми збільшуємо Т, і тоді воно дорівнює  Т=1.05, при цьому залишим  параметр k без змін.

Результати оптимізації: α^о=1.107. Воно відрізняється від заданого на  , що не перевищує 5% , тому результату отримано.

Ми бачимо, що крім математичного очікування всі  параметри мають розбіжності  не більше 5% після змін. Тому корегування  проводимо тільки не  для зміни  математичного очікування, а для  дисперсії та параметра α. Для цього додаємо постійну складову 0.01819, а також у блоках Transfer Fcn змінюємо параметр Т:

Після цього отримуємо остаточний результат, де всі характеристики і  параметри відрізняраметра ються від заданих не більше ніж на 5%: