Економіко-математична модель оптимізації структури посівних площ

      Задача 5.

Економіко-математична  модель оптимізації  структури посівних площ. 

Загальна  постановка задачі

      В сільському господарстві земля - основний засіб виробництва. Її необхідно використовувати з максимальним економічним ефектом, постійно дбаючи про родючість. Успішне рішення задачі раціонального використання землі багато в чому залежить від обґрунтованої структури посівних площ.

      Оптимальна  структура посівних площ являє собою  відображення спеціалізації рослинництва у вигляді такого співвідношення посівних площ по культурах, яке забезпечує отримання максимальної кількості сільськогосподарської продукції.

      Постановка  задачі: виходячи з виробничих ресурсів (земельних, трудових, матеріальних, тощо) визначити оптимальну структуру посівних площ, яка забезпечить виконання плану продажу продукції по видах, внутрішні потреби господарства в продукції, агрономічні та сівозмінні вимоги при максимальному економічному ефекті.

      В якості критерію оптимальності може бути:

- максимум  отримання прибутку від виробництва;

- максимум виробництва валової та товарної продукції в грошовому виразі;

- максимум  виробництва конкретної продукції  (зерна, картоплі, тощо).

      Для розробки економіко-математичної моделі необхідна така інформація:

- розмір  площі ріллі, сінокосів, пасовищ;

• перелік сільськогосподарських культур, що вирощуються в даній кліматичній зоні, їх можлива врожайність;

- затрати  праці та коштів на 1га посіву;

- виручка  від реалізації продукції (з  1га або одиниці продукції);

- наявність  виробничих ресурсів в господарстві, норми витрат їх на 1га;

- потреба  тварин в кормах по видах;

- план  продажу та внутрішня потреба  господарства по видах продукції;

• агротехнічні вимог та можливі межі входження окремої культури або групи культур в сівозміну.

Економіко-математичну  модель можна представити в загальному виді.

Знайти максимум функції:

при обмеженнях:

- виробничі  ресурси господарства обмежені:

• окремі  культури та групи культур в сівозміну  вводяться в обґрунтованих агротехнічними вимогами межах:

;

• дотримується співвідношення окремих культур (наприклад: для отримання збалансованих концентрованих кормів, страхові культури, ...):

- обмеження,  на отримання продукції даного  виду не менше заданої кількості:

- при  умові невід’ємності змінних:

де:

- прибуток з 1га j-ї культури;

- площа посіву j-тої культури;

- затрати ресурсів i-го виду на 1га j-ї культури;

- наявність виробничих ресурсів  i-го виду;

- нижня межа входження окремої  культури або групи культур  в сівозміну;

- верхня межа входження окремої  культури або групи культур в сівозміну;

- урожайність j-тої культурі;

- необхідна кількість i-го виду продукції;

- коефіцієнти пропорційності.

Умова задачі

      Господарство  має 1200га оранки, на яких може вирощувати зернові та просапні культури.

      Площа зернових у структурі посівних площ повинна бути від 40 до 60%, площа цукрових буряків не повинна перевищувати 15%, а площа соняшника або картоплі – не більше 10%. Площа озимих повинна  бути не більше 50% від максимальної площі зернових. Площа ярої пшениці співвідноситься до площі озимої пшениці як 1:10.

      Підприємство  повинно виробити не менше:

      -    15600ц зерна (в тому числі  7050ц пшениці); 

• 10500ц цукрового буряку;
• 1050ц соняшника;
• 530ц проса або гречки.

      Крім  цього для галузі тваринництва необхідно:

• соломи – 17400ц;
• кукурудзи на силос (зелений корм) – 15570ц

      В якості критерію оптимальності виступає прибуток від товарної продукції рослинництва.

      Культури  для розробки економіко-математичної моделі наведено в таблиці 7, вихідні дані взяти довільно з заданого діапазону (таблиця 1).

      Розробити економіко-математичну модель, змінними в якій будуть площі під кожну  культуру (Х₁, Х ₂, ..., Х₈), валові збори культур (Х₉, Х₁₀, ..., Х₁₆), загальні витрати на виробництво продукції (Х₁₇), витрати на виробництво товарної продукції (Х₁₈), виручка від реалізації товарної продукції рослинництва (Х₁₉).

Таблиця 1

Культури, що будуть висіватися в господарстві

 

Таблиця 2

Вихідні дані для розробки економіко-математичної моделі

 
 

Рішення

      На 19-ть змінних задачі накладено 25 обмежень:

      1-ше  обмеження стосується використання  наявної площі:

1X₁+1X₂+1X₃+1X₄+1X₅+1X₆+1X₇+1X₈<=1200, де:

X₁,X₂, ..., X₈ – площі сільськогосподарських культур.

      2-ге  та 3-тє обмеження задають верхню  та нижню межу насиченості  сівозміни зерновими культурами, питома вага яких повинна бути від 40% до 60%.

1X₁+1X₂+1X₃+1X₄+1X₅£720     (60%)

1X₁+1X₂+1X₃+1X₄+1X₅³480     (40%), де

X₁,X₂,X₃,X₄,X₅ – площі зернових культур.

      4-те, 5-те та 6-те обмеження описують  максимальну площу цукрових буряків,  озимих та картоплі відповідно, так 4-те стосується площі цукрових  буряків:

1X₆£180     (15%), де:

X₆ – площа цукрових буряків.

      7-ме  обмеження характеризує співвідношення  між площею посіву озимої пшениці та ярої пшениці:

1X₁-10X₂=0, де:

X₁ – площа озимої пшениці;

X₂ – площа ярої пшениці.

      Група обмежень з 8-го по 12-те задають нижню межу виробництва певної продукції, так 8-ме обмеження характеризується валового збору зерна, який повинен бути на менше 15600 ц:

1X₉+1X₁₀+1X₁₁+1X₁₂+1X₁₃>=15600; де:

X₉,X₁₀,X₁₁,X₁₂,X₁₃ – валові збори озимої пшениці, ярої пшениці, гречки, жита, гороху відповідно.

      13-те та 14-те обмеження забезпечать задоволення потреб тваринництва в соломі та силосі відповідно, так 13-те має вигляд:

55X₁+30X₂+35X₄+25X₅>=17400; де:

X₁,X₂,X₄,X₅ – площі зернових культур: озимої пшениці, ярої пшениці, жита та гороху відповідно (коефіцієнти при цих змінних - урожайність соломи відповідних культур).

      Обмеження з 15-го по 22-ге забезпечують зв’язок  між площею посіву та валовим збором по кожній сільськогосподарській культурі, 15-те обмеження стосується озимої пшениці:

45X₁-X₉=0; де:

X₁ – площа озимої пшениці (32 – урожайність озимої пшениці);

X₉ – валовий збір озимої пшениці.

      23-те  обмеження акумулює затрати на  виробництво продукції:

600X₁+480X₂+30X₃+480X₄+450X₅+2300X₆+650X₇+300X₈ – X17=0; де:

X₁,X₂, ..., X₈ – площі сільськогосподарських культур (коефіцієнти при змінних – затрати на 1 га, грн.);

X₁₇ – загальні затрати на виробництво продукції, грн.

      24-те  обмеження характеризує затрати  на виробництво товарної продукції:

600X₁+480X₂+30X₃+480X₄+450X₅+2300X₆+650X₇ – X18=0; де:

X₁,X₂, X₃, X₄, X₅, X₆, X₇ – площі товарних сільськогосподарських культур (коефіцієнти при змінних – затрати на 1 га, грн.);

X₁₈ – загальні затрати на виробництво товарної продукції, грн.

      25-те  обмеження стосується виручки  від реалізації товарної продукції:

40X₉+40X₁₀+38X₁₁+44X₁₂+29X₁₃+16X₁₄+90X₁₅-X₁₉ =0; де:

X₉,X₁₀,X₁₁,X₁₂,X₁₃,X₁₄,X₁₅ – валові збори с/г культур (коефіцієнти при змінних – ціна реалізації 1 ц продукції, грн.);

X₁₉ – виручка від реалізації товарної продукції рослинництва, грн.

      В якості критерію оптимальності виступає прибуток від виробництва товарної продукції рослинництва:

1X₁₉–1X₁₈àmax.

      Економіко-математичну  модель оптимізації посівних площ можна  представити в табличному вигляді.