Алгоритми та методи обчислень

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Харківський національний університет  радіоелектроніки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звіт

з лабораторної роботи №1

з курсу «Алгоритми та методи обчислень»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконав:         Перевірив:

ст.гр. КІ-11-3        доцент каф. ПМ

Бобнев В. А        Козиренко С.І.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Харків 2012

 

1. РОЗВ’ЯЗОК СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ МЕТОДОМ ПРОСТОЇ ІТЕРАЦІЇ

 

1.  Мета роботи

Вивчити застосування методу простої  ітерації для розв’язку систем алгебраїчних лінійних рівнянь,навчитися застосовувати  цей метод для розв’язку систем рівнянь за допомогою ЕОМ.

2. Теоретичні дослідження

Розглядається система n лінійних рівнянь з n невідомими

 (1.1)

де

,   ,   .

Для застосування методу простої ітерації використовується зведена система

 (1.2)

де

,  

Перехід від системи (1.1) до зведеної системи (1.2) здійснюється таки чином:

Довільне -е наближення обчислюється за формулою:

 (1.3)

або в розгорнутому вигляді

 

 

 

 

Процес ітерації (1.3) стосовно зведеної системи (1.2) збігається незалежно від початкового наближення, якщо будь-яка канонічна норма матриці менше 1, тобто . Оцінка похибки методу простої ітерації здійснюється за формулою

.

Якщо необхідно обчислити значення коренів з точністю , то, як тільки , виконується умова , тобто – шукане розв’язання.

 

2. Виконання роботи

 

2.1 Вхідні данні

 

Знайти розв’язок системи алгебраїчних рівнянь за методом простої ітерації з точністю _.

 

 

Переходимо до зведеної системи, яка  має вигляд:

 

 

 

 

2.2 Розрахунок

 

Перевіримо умову збіжності:

 

 

 

 

 

 

Приведемо систему до вигляду (1.2):

 

 

 

Після порівняння отриманої системи  з виглядом (1.1) отримуємо:

 

,

 

Перевіряємо виконання достатньої умови збіжності для приведеної системи

 

 

max [|0,109| + |0,052| + |0,024|

   |0,094| + |0,107| + |0,170|

   |0,111| + |0,089| + |0,097|

   |0,058| + |0,103| + |0,069|] = max(0,185; 0,371; 0,297; 0,23) = 0,371<1

Отже прочес ітерації для даної системи є збіжним.

Коефіцієнт для контролю похибки:

 

 

За початкове наближення візьмемо:

 

 

Наближення знаходиться за формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином,маємо:

 

 

Оцінка похибки на першої ітерації здійснюється за формулою:

 

 

 

 

Тоді маємо:

 

 

Умова   не виконується, далі знаходимо наближення за формулою .

Процес обчислення проводимо до досягнення даної точності .