Развитие арабской математики

Развитие  арабской математики

     Развитие  арабской математики началось  в VII в. нашей эры, как раз  в эпоху возникновения религии  ислама. Она выросла из многочисленных  задач, поставленных торговлей,  архитектурой, астрономией, географией, оптикой, и глубоко сочетала  в себе стремление решить эти  практические задачи и напряженную  теоретическую работу.

    Арабские  математики добились решающих  достижений и сделали ряд неоспоримых   открытий в области разработки  алгебраического исчисления, как  абстрактного, так и практического,  становления теории уравнений,  алгоритмических методов на стыке  алгебры и арифметики.

    В  развитии арабской математики  можно  различить два периода:  прежде всего  усвоение в  VII и VIII вв. греческого и восточного  наследия. Багдад был первым крупным  научным центром в правления  ал-Мансура (754-775) и Гарун ал-Рашида (786-809). Там было большое количество  библиотек, и изготовлялось много  копий научных трудов. Переводились  труды античной Греции (Евклид, Архимед,  Аполлоний, Герон, Птолемей, Диофант), изучались также труды из Индии, Персии и Месопотамии.

    Но  к IX в. сформировалась настоящая  собственная математическая культура, и новые работы вышли за  рамки, определенные эллинским  математическим наследием.

    Первым  знаменитым ученым багдадской  школы был Мухаммед ал-Хорезми, деятельность которого протекала в первой половине IX в. Он входил в группу математиков и астрономов, которые работали в Доме мудрости, своего рода академии, основанной в Багдаде в правление ал-Маммуна (813-833). Сохранились пять работ ал-Хорезми, частично переработанные, из которых два трактата об арифметике и алгебре оказали решающее воздействие на дальнейшее развитие математики.

    Его  трактат об арифметике известен  только в латинском варианте XIII в., который, без сомнения, не является  точным переводом. Его можно  было бы озаглавить «Книга  о сложении и вычитании на  основе индийского исчисления».  Это, во всяком случае, первая  книга, в которой изложены десятичная  система счисления и операции, выполняемые в этой системе,  включая умножение и деление.  В частности, там использовался  маленький кружочек, выполнявший  функции нуля. Ал-Хорезми объяснял, как произносить числа, используя понятия единицы, десятка, сотни, тысячи, тысячи тысяч…, которые он определил. Но форма использованных ал-Хорезми цифр неизвестна, возможно, это были арабские буквы или арабские цифры Востока.

     О  происхождении  арабских цифр  стоит сказать отдельно.   Арабские  цифры — традиционное название  десяти математических знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которых  по десятичной системе счисления  записываются любые числа. Эти  цифры возникли в Индии (не  позднее V в.), в Европе стали  известны в Х-ХIII вв. по арабским сочинениям (отсюда название). 

    Интересные  факты: Ряд интересных математических задач, стимулировавших развитие сферической геометрии и астрономии, поставила перед математикой и сама религия ислама. Это задача о расчёте лунного календаря, об определении точного времени для совершения намаза, а также об определении киблы — точного направления на Мекку.  

Ал-Хорезми  и рождение «ал-джабр»

    Самым  значительным трудом ал-Хорезми можно считать «Краткую книгу об исчислении ал-джабр и ал-мукабала», которую  можно рассматривать как сочинение  по основам алгебры на арабском языке и которая оказала сильное влияние благодаря своим многочисленным латинским переводам на всю средневековую западную науку. Большая часть этой работы посвящена практическим задачам – насущным задачам повседневной жизни той эпохи, в частности задачам раздела наследства, связанным с очень сложными мусульманскими правами наследования. Трактата ал-Хорезми учит, как решать уравнения первой и второй степени с числовыми коэффициентами. Его алгебра целиком риторическая, он не использовал символов даже для чисел. Тем не менее, он различал  три вида чисел: просто числа, которые он обозначал «дирхам» (по названию греческой денежной единицы драхмы); неизвестное, которое он называл «шай» (вещь) или «джизр», когда речь шла о корне уравнения; наконец, он использовал «маал», чтобы обозначить квадрат неизвестного.

     Все  уравнения  приводились к шести  каноническим типам, которые ал-Хорезми и его ученики записывали в формах, эквивалентных следующим:

1. aх²=bx                              4) ax² + bx=c

     2) ax²=c                                5) ax² + c=bx

     3)  bx=c                                 6) bx + c=ax²

    Все коэффициенты были положительные, и члены только складывались. Чтобы решать эти уравнения, были введены две основные операции:

    –  операция ал-джабр (что означает «дополнение» или «восполнение»), которая состояла в избавлении от членов со знаком «минус» в одной части уравнения путем прибавления к обеим частям уравнения одинаковых членов;

      – операция ал-мукабала (что означает «противопоставление», «уравновешивание»), которая состояла в сокращении равных членов в обеих частях уравнения.

    Словом  ал-джабр вскоре стали называть все позднейшие книги арабов по этому предмету. Оно затем распространилось на всю теорию уравнений и пришло в Европу в XIV в. в виде слова «алгебра» для обозначения этой науки.   

Последователи ал-Хорезми 

    Трактат  л-Хорезми явился отправным пунктом  развития алгебры в странах  ислама, а позднее и в средневековой  Европе. Наряду с ним большую  роль сыграла "Книга об алгебре  и ал-мукабале" Абу-Камила, написанная в конце IX или начале Х в. Абу-Камил также ограничивается линейными и квадратными уравнениями. Но у него более развито алгебраическое исчисление, даны другие геометрические доказательства правил решения квадратных уравнений, основанные на предложениях II книги "Начал" Евклида, и приведено обширное собрание примеров. Примеры составляют главное богатство книги и требуют великолепного умения обращаться с иррациональностями, которые нередко входят в корни и даже в коэффициенты уравнений. У ал-Хорезми этого не было. Во второй половине Х в. ал-Караджи в трактате Ал-фахри рассмотрел решение уравнений, квадратных относительно xn, а также еще домноженных на xm.

    Во  второй половине IX в. математики  стран  ислама включают в  круг своих занятий кубические  уравнения. Прежде всего, ал-Махани попытался решить задачу Архимеда о делении данного шара плоскостью на сегменты с данным отношением объемов. Он свел задачу к "равенству куба и числа квадратам", но потерпел неудачу в решении. Лишь примерно через сто лет ал-Хазини и несколько спустя Ибн ал-Хайсам строят корень уравнения как (говоря по-современному) координату точки пересечения двух конических сечений, т. е. при помощи того же приема, который использовал Архимед, а за ним Дионисодор и Диокл. По-видимому, в то время восточные математики не были знакомы-с решениями в греческой литературе. Тщательный анализ задача Архимеда произвел современник Ибн ал-Хайсама ал-Кухи, построивший еще две аналогичные задачи. Основное значение в привлечении более пристального внимания к кубическим уравнениям имело сведение к ним задачи о построении правильного девятиугольника и трисекции угла, применявшейся при вычислении тригонометрических таблиц. Эти задачи мы встречаем, например, у ал-Бируни в первой половине XI в. и тогда же у Абу-л-Джуда. В порядок дня становится разработка общего учения об уравнениях третьей степени.

Математики стран  ислама получили первый толчок к занятиям кубическими уравнениями от греков, но продвинулись много далее. Эллинистические  ученые ограничились рассмотрением  нескольких частных задач, изолированных  от других проблем математики. Если не считать извлечения кубического  корня, то кубические уравнения не получили у них приложений. Вопрос об их числовых решениях не был даже поставлен. Задача Архимеда надолго осталась случайным  эпизодом. Совсем другой характер приобретает  учение о кубических уравнениях в  странах ислама. Здесь это учение входит в виде большой новой главы  в алгебру. Ученые изобретают способы  приближенного вычисления корней и, пользуясь античным геометрическим методом, создают общую теорию. Насколько  известно, первый опыт такой теории принадлежал Абу- л-Джуду. 

Омар  Хайям и его  достижения

Рассмотрим более  подробно важнейшие из научных результатов  Хайяма - его математические открытия. Известные нам математические результаты Хайяма относятся к трем направлениям: к алгебре, к теории параллельных, к теории отношений и учению о  числе. Во всех этих направлениях Хайям  имел в странах ислама выдающихся предшественников и преемников. Во многом он отправлялся от классиков  греческой и эллинистической  науки - Аристотеля, Евклида, Аполлония, но вместе с тем он выступает как яркий представитель новой математики с ее мощной и определяющей вычислительно- алгоритмической компонентой.

Алгебраический  трактат Хайяма можно разбить  по порядку на пять разделов: 1) введение, 2) решение уравнений 1-й и 2-й степени, 3) решение уравнений 3-й степени, 4) сведение к предыдущим видам уравнений, содержащих величину, обратную неизвестной, и 5) дополнение (в тексте трактата такого деления на разделы не имеется).

Во введении мы впервые находим определение  предмета и метода алгебры. "Искусство  алгебры и алмукэбэлы, - сказано там, - есть научное искусство, предмет которого составляют абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-нибудь известной вещи, по которой их можно определить. Эта вещь есть или количество или отношение...". Таким образом, предмет алгебры - это неизвестная величина, дискретная (ибо "абсолютное число" означает число натуральное) или же непрерывная (измеримыми величинами Хайям называет линии, поверхности, тела и время). Неизвестные и данные величины могут быть и отвлеченными отношениями. "Отнесение" неизвестных величин к известным есть составление уравнения. Немного далее Хаййам говорит: "Алгебраические решения производятся при помощи уравнения, т.е., как это хорошо известно, приравнения одних степеней другим". Словом, алгебра определяется как наука об уравнениях и именно о тех уравнениях, которые в настоящее время называются алгебраическими. Мы впервые здесь находим и термин "алгебраисты" - ал-джабриййуна.

Задачей алгебры  является определение как числовых, так и геометрических неизвестных. Здесь Хайям свидетельствует, что  математики стран ислама занимались поисками числового решения кубического  уравнения, т.е. решения в радикалах, но тщетно. О различных видах уравнений 3-й степени он пишет: "Доказательство этих видов в том случае, когда  предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для нас, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством. Может быть, кто-нибудь из тех, кто  придет после нас, узнает это для  случая, когда имеется не только три первых степени, а именно число, вещь и квадрат". Такое решение  кубического уравнения было найдено  итальянцами в начале XVI в., через 400 лет после смерти Хайяма.

Далее производится классификация уравнений первых трех степеней, основанная на том же принципе, что у ал-Хорезми: выделяются всевозможные приведенные формы уравнений с положительными коэффициентами, кроме тех, которые заведомо не имеют положительных корней. Всего нормальных форм 25, из них 14 кубических уравнений, не приводящихся к квадратным или линейным делением па неизвестную или ее квадрат. Это - одно двучленное уравнение, шесть трехчленных, четыре четырехчленных, в которых сумма трех членов равна четвертому, и три четырехчленных, в которых имеет место равенство между суммами пар членов. Значение классификации в том, что применительно к каждой нормальной форме подбирается соответствующее построение. О том, как приводить уравнения к нормальной форме, Хаййам не говорит, - предполагается, что читатель знаком с элементарной алгеброй того времени.

Предпосылкой  изучения трактата, как отмечает сам  автор, является хорошее знание "Начал" и "Данных" Евклида и двух первых книг "Конических сечений" Аполлония. Труды Евклида нужны для геометрического вывода правил решения квадратных уравнений, а сочинение Аполлония требуется для теории кубических уравнений. И тут Хаййам, впервые в истории математики, заявляет, что уравнения третьей степени, вообще говоря, не решаются при помощи циркуля и линейки. Он пишет: "Доказательство этих видов может быть произведено только при помощи свойств конических сечений". В 1637 г. с подобным утверждением вновь выступил Р.Декарт, а еще двести лет спустя, в 1837 г., это было доказано П.Л.Ванцелем. Основным является третий раздел трактата, где дано построение корней каждой из 14 нормальных форм уравнений третьей степени при помощи надлежаще подобранных конических сечений, вернее тех их частей, которые дают положительные корни. Еще Ф.Вёпке, первый издатель алгебраического трактата Хайяма, выяснил, что подбор конических сечений произведен здесь вполне систематически. Следующая схема кратко и наглядно выражает этот подбор. Допустим, что к, Л, р, v, t П принимают значения +1 и -1 и к, кроме того, в одном случае может быть равно 0. Тогда пары конических сечений, служащие Хайяму для построения решений нормальных форм уравнений, принадлежат к трем системам: